Esercizio sul residuo
Svolgendo tale esercizio:
$f(z)=(z^2(z-1/2)^3)/sin(piz)$ dove si richiede di calcolare il residuo per ogni singolarità al finito
Sono riuscito ad individuare e calcolare il residuo di tutte le infinite singolarità z=k, poiché poli semplici e per capirlo mi è bastato sfruttare che data $(h(x))/g(x)$ e il fatto che gli zeri di g(x) fossero tutti isolati di ordine 1 fa si che perogni z=k (con k negli interi) avrò un polo di ordine 1. L'unico problema è l'azzeramente della funzione a numeratore per z=k=0, dunque non posso calcolare i residui tramite la formula dei poli: mi tocca sfruttare Laurent e capire che tipo si singolarità è.
Il problema è che non riesco a capire z=0 che tipo di singolarità sia perché non riesco a sviluppare in modo furbo $sin(piz)$ essendo a denominatore non posso sfruttare Mc.Laurin, insomma, come posso svilupparla e capire l'ordine di z=0?
Vi ringrazio per la mano e buon sabato
PS:
Scrivendo mi è venuto in mente che, poiché:
$lim_(z->0) |f(z)|=0$ poiché finito vuol dire che è una singolarità eliminabile, ciò vul dire che il residuo sarà zero.
Dovrebbe essere comunque una strada corretta che mi porta a salvezza, ma, io vorrei anche proseguire sullo sviluppo perché noto una lacuna che vorrei colmare non riuscendoci
$f(z)=(z^2(z-1/2)^3)/sin(piz)$ dove si richiede di calcolare il residuo per ogni singolarità al finito
Sono riuscito ad individuare e calcolare il residuo di tutte le infinite singolarità z=k, poiché poli semplici e per capirlo mi è bastato sfruttare che data $(h(x))/g(x)$ e il fatto che gli zeri di g(x) fossero tutti isolati di ordine 1 fa si che perogni z=k (con k negli interi) avrò un polo di ordine 1. L'unico problema è l'azzeramente della funzione a numeratore per z=k=0, dunque non posso calcolare i residui tramite la formula dei poli: mi tocca sfruttare Laurent e capire che tipo si singolarità è.
Il problema è che non riesco a capire z=0 che tipo di singolarità sia perché non riesco a sviluppare in modo furbo $sin(piz)$ essendo a denominatore non posso sfruttare Mc.Laurin, insomma, come posso svilupparla e capire l'ordine di z=0?
Vi ringrazio per la mano e buon sabato
PS:
Scrivendo mi è venuto in mente che, poiché:
$lim_(z->0) |f(z)|=0$ poiché finito vuol dire che è una singolarità eliminabile, ciò vul dire che il residuo sarà zero.
Dovrebbe essere comunque una strada corretta che mi porta a salvezza, ma, io vorrei anche proseguire sullo sviluppo perché noto una lacuna che vorrei colmare non riuscendoci
Risposte
Sì, in $0$ hai una singolarità eliminabile, perché il numeratore ha in quel punto uno zero d’ordine maggiore del denominatore.
Dunque, lo $0$ è un punto di regolarità ed il residuo è nullo.
Domanda bonus: $oo$ che tipo di singolarità è?
Dunque, lo $0$ è un punto di regolarità ed il residuo è nullo.
Domanda bonus: $oo$ che tipo di singolarità è?
Sicneramente non lo so a infinito, non le abbiamo ancora introdotte al momento e non so cosa siano (seguo di pari passo le lezioni, non sono in fase ripasso e studio), ci ragiono su un attimo però 
grazie per lo spunto.
Però dovrei svilupparlo per capirlo e vedere "l'esponente più piccolo" ** (perdona il maltrattamento verbale del concetto) ed il problema è che non riesco a farelo sviluppo
** in questo caso me lo aspetto positivo
grazie per lo spunto."gugo82":
Sì, in $0$ hai una singolarità eliminabile, perché il numeratore ha in quel punto uno zero d’ordine maggiore del denominatore. ?
Però dovrei svilupparlo per capirlo e vedere "l'esponente più piccolo" ** (perdona il maltrattamento verbale del concetto) ed il problema è che non riesco a farelo sviluppo
** in questo caso me lo aspetto positivo
Dai... Dovrebbero essere cose chiare dal caso reale, non serve a nulla sviluppare in serie.
$z^2$ ha in $0$ uno serio d’ordine due, mentre $sin pi z$ ha tutti zeri del primo ordine.
$z^2$ ha in $0$ uno serio d’ordine due, mentre $sin pi z$ ha tutti zeri del primo ordine.
Mi vergogno a dirlo, ma non ho capito perché mi basti fare il confronto dell'ordine degli zeri di numeratore e denominatore. Non ho capito come giustificarmelo formalmente il perché funzioni.
So già che poi mi dirò sono un idiota.
So già che poi mi dirò sono un idiota.
Di nuovo, dai... È il principio di sostituzione degli infinitesimi:
\[
\lim_{z\to 0} \frac{z^2(z-1/2)^3}{\sin(\pi z)} = \lim_{z\to 0} \frac{z^2(z-1/2)^3}{\pi z} = 0
\]
e ciò accade proprio perché l'ordine del numeratore è superiore.
In generale, se $f(z) approx (z-z_0)^n$ e $g(z) approx (z-z_0)^m$, allora:
\[
\lim_{z\to z_0} \frac{f(z)}{g(z)} = \lim_{z\to z_0} \frac{(z-z_0)^n}{(z-z_0)^m}
\]
e le cose, quindi, dipendono dal confronto tra gli ordini di infinitesimo.
\[
\lim_{z\to 0} \frac{z^2(z-1/2)^3}{\sin(\pi z)} = \lim_{z\to 0} \frac{z^2(z-1/2)^3}{\pi z} = 0
\]
e ciò accade proprio perché l'ordine del numeratore è superiore.
In generale, se $f(z) approx (z-z_0)^n$ e $g(z) approx (z-z_0)^m$, allora:
\[
\lim_{z\to z_0} \frac{f(z)}{g(z)} = \lim_{z\to z_0} \frac{(z-z_0)^n}{(z-z_0)^m}
\]
e le cose, quindi, dipendono dal confronto tra gli ordini di infinitesimo.
Stavo per loggarmi e dire lascia stare
Che poi sarebbe quel che ho fatto qui,senza rifletterci a fondo:
Mi è venuto in mente stamane cosa mi stavi suggerendo di valutare, certe volte mi incarto in cavolate davvero, sono allibito.
Ti ringrazio molto per il tuo costante e fondamentale aiuto sul forum
Buona domenica!!
Che poi sarebbe quel che ho fatto qui,senza rifletterci a fondo:
"wsualfredo":
PS:
Scrivendo mi è venuto in mente che, poiché:
$lim_(z->0) |f(z)|=0$ poiché finito vuol dire che è una singolarità eliminabile, ciò vul dire che il residuo sarà zero.
Mi è venuto in mente stamane cosa mi stavi suggerendo di valutare, certe volte mi incarto in cavolate davvero, sono allibito.
Ti ringrazio molto per il tuo costante e fondamentale aiuto sul forum
Buona domenica!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo