Esercizio sugli spazi L^p

[francescop21]

Ciao a tutti!

L'altro giorno, mentre impartivo ripetizioni, mi è stato chiesto aiuto per risolvere il seguente esercizio.

Sia $f:\Omega\mapsto \mathbb{R}$ misurabile, con $\mu(\Omega)<\infty$, e sia $p\in [1,\infty)$.
Inoltre per ogni $g\in L^q(\Omega)$ si ha $fg\in L^1$ e, per una certa costante $M\ge 0$ indipendente da $g$, vale
\(\displaystyle \left\lvert{\int_\Omega fg\,d\mu}\right\rvert\le M\lVert g\rVert_{L^q} \).
Dove $p$ e $q$ sono esponenti coniugati: $1/p + 1/q =1$. Si dimostri che $f\in L^p(\Omega)$ e \(\lVert f\rVert_{L^p} \le M\).

Purtroppo al momento non sono riuscito a fornire l'aiuto richiesto e in effetti è un paio di giorni che torno a pensarci su, però non trovo lo spunto corretto per partire.
La cosa che mi stupisce è che l'esercizio è nella parte introduttiva agli spazi $L^p$, appena dopo i risultati preliminari (le disuguaglianze di Hölder e Minkoswki), quindi mi aspetto che sia relativamente semplice.
Qualcuno ha dei suggerimenti che indichino una buona pista da seguire?

[$mago14]

Ciao! per il primo punto io ho pensato di usare Holder, che mi garantisce l'appartenenza di $f,g$ a rispettivamente $L^p,L^q$, con $p,q$ Holder coniugati, chiedendomi $solo$ la misurabilità delle due funzioni. Quindi
$$\bigg|\int_{\Omega} fg d\mu\bigg| \le \int_{\Omega} |fg| d\mu \le ||f||_p ||g||_q$$
dove la prima maggiorazione è monotonia dell'integrale, e nella seconda Holder appunto. Quindi qua otteniamo subito che $f \in L^p$. Per il secondo punto ci penso un attimo =)

[francescop21]

$mago: chiedendomi \(solo\) la misurabilità delle due funzioni

Ciao! Hölder richiede \(f\in L^p\) che è la tesi da dimostrare

[$mago14]

perdonami, errore stupidissimo di comprensione
ora ci penso in maniera più intelligente

[dissonance]

Il trucco è scegliere opportunamente $g$. Comincia con il caso $p=q=2$ dove tra l'altro hai già tutte le idee, generalizzare a $p$ qualsiasi è solo tecnica.

[francescop21]

Credo di aver risolto, anche se non sono sicuro al 100% su alcuni passaggi. Serviranno due risultati preliminari:
1) uno banale, $f\in L^r(\Omega) \iff f^{r/p}\in L^p(\Omega)$
2) uno che mi sembra meno banale e su cui chiedo conferma: \(f\in L^r(\Omega) \quad\forall r

Per questo punto è necessario $\mu(\Omega)<\infty$?
Oppure è sufficiente notare che \( \forall\varepsilon >0\quad \int_\Omega \lvert f \rvert^{p-\varepsilon}\,d\mu < \infty \implies \int_\Omega \lvert f \rvert^p\,d\mu < \infty \) ?


Tornando al problema, si prende $g=sign(f)$, vale \(\lVert g\rVert_{L^q}\le \mu(\Omega)^{1/q}\), da cui $g\in L^q(\Omega)$.
Sostituendo nella disuguaglianza si ottiene
\(\displaystyle \int_\Omega \lvert f\rvert\,d\mu \le M\lVert g\rVert_{L^q} \implies f\in L^1(\Omega) \)

Dal punto 1 si ha quindi che $g=f^{1/q} \in L^q(\Omega)$ e sostituendo nuovamente nella disuguaglianza si ottiene
\(\displaystyle \int_\Omega \lvert f\rvert^{1+\frac{1}{q}},d\mu \le M\lVert g\rVert_{L^q} \implies f\in L^{1+\frac{1}{q}}(\Omega) \)

Iterando il ragionamento si ha che $\forall n\in \mathbb{N}\qquad f \in L^{s_n}(\Omega)$ dove $s_n=\sum_{k=0}^n 1/q^k$ è la somma parziale di una serie geometrica di ragione $1/q$. La serie è crescente e converge a $1/{1-1/q}=p$.
Siccome $\mu(\Omega)<\infty$, da Hölder discende $L^s(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ con $r
A questo punto, per dimostrare la stima \(\lVert f\rVert_{L^p}\le M\) si prende \(g=sign(f)\lvert f\rvert^{p-1}\). Questa funzione appartiene a $L^q(\Omega)$ in quanto:
\(\displaystyle \lVert g\rVert_{L^q}^q=\int_\Omega \lvert f\rvert^{q(p-1)}\,d\mu=\int_\Omega \lvert f\rvert^p\,d\mu=\lVert f\rVert_{L^p}^p \)
Infine, sostituendo nella disuguaglianza:
\(\displaystyle \lVert f\rVert_{L^p}^p=\int_\Omega \lvert f\rvert^p\,d\mu \le M\lVert g\rVert_{L^q}=M\lVert f\rVert_{L^p}^{\frac{p}{q}}=M\lVert f\rVert_{L^p}^{p-1} \).

Spero che sia tutto corretto e sensato. Un grazie a dissonance, pensare al caso $p=q=2$ ha semplificato molto. Buona giornata!

EDIT: mi sono accordo che il procedimento andrebbe modificato leggermente per il caso $p=1$ e $q=\infty$ (in tal caso basta prendere $g=sign(f)$, osservare che $g\in L^\infty$, segue immediatamente $f\in L^1$).

[dissonance]

Purtroppo il punto 2 è falso. Prendi \(p\in(1,\infty)\) e
\[
f(x)=\frac{1}{|x|^{\frac1p}},
\]
e hai una funzione in $L^r(-1, 1)$ per ogni $1\le r

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[francescop21]

dissonance: Prendi \(p\in(1,\infty)\) e \( f(x)=\frac{1}{|x|^{\frac1p}}\)

Preferirei di no, ti ringrazio

Tornando seri, il mio errore è stato nel non accorgermi che l'integrale \( \int_\Omega \lvert f \rvert^r\,d\mu \) non è necessariamente limitato al variare di $r\in[1,p)$. Ma se lo fosse allora $f\in L^p(\Omega)$?
Perché in quel caso avrei
\(\displaystyle \forall\varepsilon >0\quad \int_\Omega \lvert f \rvert^{p-\varepsilon}\,d\mu \le C < \infty \implies \int_\Omega \lvert f \rvert^p\,d\mu \le C \),
giusto?

[Rigel1]

Potrebbe essere utile ragionare sul funzionale lineare
\[
T\colon L^q(\Omega)\to\mathbb{R},
\qquad
g \mapsto Tg := \int_\Omega fg\, d\mu
\]
che, per ipotesi, è continuo (dunque \(T\in (L^q)^*\)).

[dissonance]

@Rigel: Certamente, però mi sembra barare, se l'esercizio è stato proposto nella parte introduttiva significa che è propedeutico alla caratterizzazione di $(L^q)^\star$. A meno che tu non abbia in mente un approccio diverso.

Io propongo di abbandonare la via di \(\int |f|^{p-\epsilon}\) che finirà sempre con cascare sul controesempio del mio intervento precedente. Ma l'idea di prendere \(g(x)=\mathrm{sign}(f) |f(x)|^{p-1}\) è gagliarda. L'unico problema è che nessuno ci garantisce che \(g\in L^q\). Prova ad approssimare \(g\) con una successione di funzioni di classe \(L^q\), per esempio delle funzioni semplici. Qui il fatto che \(\mu(\Omega)<\infty\) ti viene in aiuto, perché tutte le funzioni semplici sono automaticamente in tutti gli spazi \(L^p\). (In effetti il risultato è vero anche se \(\mu(\Omega)=\infty\)).

[Rigel1]

"dissonance":@Rigel: Certamente, però mi sembra barare, se l'esercizio è stato proposto nella parte introduttiva significa che è propedeutico alla caratterizzazione di $(L^q)^\star$. A meno che tu non abbia in mente un approccio diverso.

Hai ragione. Non avevo letto la parte in cui l'OP diceva questo.

[Rigel1]

Giusto per dare un contributo fattivo:
come suggerisce dissonance, partiamo dal caso \(p=q=2\).
Poiché \(\Omega\) ha misura finita, si vede subito prendendo \(g = \text{sign} f\) che \(f\in L^1\).
Per ogni \(k\in\mathbb{N}\) consideriamo la troncata \(g_k := T_k f\), dove \(T_k(s) := \max\{\min\{s,k\}, -k\}\); queste troncate stanno tutte in \(L^\infty\), dunque in \(L^2\) (sempre perché \(\Omega\) è di misura finita).
Abbiamo che
\[
\|g_k\|_2^2 \leq \int_\Omega f T_k f \leq M \|g_k\|_2,
\]
cioè \(\|g_k\|_2 \leq M\) per ogni \(k\). Di conseguenza, per il teorema di convergenza monotona \(\int_\Omega f^2\, d\mu = \lim_{k\to +\infty} \|g_k\|_2^2 \leq M^2\).

Adesso ti resta solo il caso con \(p\) e \(q\) generici

[francescop21]

Vi ringrazio, Rigel e dissonance, appena avrò il tempo metterò in pratica i preziosi suggerimenti che mi avete fornito.

Tuttavia, vorrei tornare sull'ultima risposta di dissonance, che mi ha suscitato qualche dubbio. Da quanto hai scritto ho inteso che sia falso
\[
f\in L^r(\Omega)\quad 1\le r \]

Però \(\forall \varepsilon>0 \quad\exists \bar{r}\in(1,p)\) tale per cui preso \(r\in(\bar{r},p)\) si ha
\[
|f|^p\le |f|^r+\varepsilon \chi_E
\]
dove \(E=\{t\in\Omega\colon |f(t)|>1\}\). Dal fatto che l'integrale è limitato segue $\mu(E)<\infty$.
A questo punto
\[
\int_\Omega|f|^p\,d\mu\le\int_\Omega|f|^r+\varepsilon\chi_E\,d\mu\le C +\varepsilon\mu(E)
\]

Mi sto perdendo qualcosa?

[Rigel1]

"francescop21":
\[
f\in L^r(\Omega)\quad 1\le r \]

Questa mi sembra corretta (dovrebbe essere sufficiente applicare il teorema di convergenza monotona separatamente sugli insiemi \(E = \{x\in\Omega:\ |f(x)| > 1\}\) e \(\Omega\setminus E\)).

Però \(\forall \varepsilon>0 \quad\exists \bar{r}\in(1,p)\) tale per cui preso \(r\in(\bar{r},p)\) si ha
\[
|f|^p\le |f|^r+\varepsilon \chi_E
\]
dove \(E=\{t\in\Omega\colon |f(t)|>1\}\).

Questa mi sembra sbagliata. Ciò che è vero è che per ogni \(x\in E\) e per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \(\bar{r} \in (1,p)\), dipendente da \(x\) e da \(\varepsilon\), tale che \(|f(x)|^p \leq |f(x)|^r + \varepsilon\) per ogni \(r\in (\bar{r}, p)\).

[dissonance]

Questa vecchia domanda contiene la soluzione a un problema più difficile, perché non si suppone a priori che ci sia una costante \(M>0\) uguale per tutte le funzioni \(g\):

viewtopic.php?f=40&t=70155