Esercizio su esistenza di funzione olomorfa
Esiste una funzione olomorfa $f:CC->CC$ la cui parte reale sia la funzione $u(x,y)=x^4+2y^4-2x^2y^2$?
Allora io ho pensato di fare cosi:
Sia $v$ la parte immaginaria della funzione $f$ (supposta che essa esista), allora dovrebbero valere le equazioni di Cauchy-Riemann:
$\{((delv)/(dely)=(delu)/(delx)),((delv)/(delx)=-(delu)/(dely)):}$
ovvero
$\{((delv)/(dely)=4x^3-4xy^2),((delv)/(delx)=4x^2y-8y^3):}$
Ora usando la prima equazione otteniamo $v=4x^3y-4/3xy^3+s(x)$ dove $s(x)$ è un polinomio in $x$. Allora $(delv)/(delx)=12x^2y-4/3y^3+s'(x)$ e dalla seconda equazione del sistema si ottiene che $12x^2y-4/3y^3+s'(x)=4x^2y-8y^3$. Siccome $s'(x)$ ha solo termini nella variabile $x$ allora l'equazione è falsa poichè i coefficienti di grado $x^2y$ e $y^3$ non si annullano, e quindi tale $f$ non esiste. Non so se esiste una via migliore e piu semplice rispetto a questa, se qualcuno sa dirmi, grazie.
Allora io ho pensato di fare cosi:
Sia $v$ la parte immaginaria della funzione $f$ (supposta che essa esista), allora dovrebbero valere le equazioni di Cauchy-Riemann:
$\{((delv)/(dely)=(delu)/(delx)),((delv)/(delx)=-(delu)/(dely)):}$
ovvero
$\{((delv)/(dely)=4x^3-4xy^2),((delv)/(delx)=4x^2y-8y^3):}$
Ora usando la prima equazione otteniamo $v=4x^3y-4/3xy^3+s(x)$ dove $s(x)$ è un polinomio in $x$. Allora $(delv)/(delx)=12x^2y-4/3y^3+s'(x)$ e dalla seconda equazione del sistema si ottiene che $12x^2y-4/3y^3+s'(x)=4x^2y-8y^3$. Siccome $s'(x)$ ha solo termini nella variabile $x$ allora l'equazione è falsa poichè i coefficienti di grado $x^2y$ e $y^3$ non si annullano, e quindi tale $f$ non esiste. Non so se esiste una via migliore e piu semplice rispetto a questa, se qualcuno sa dirmi, grazie.
Risposte
Ciao andreadel1988,
Mi pare corretto: anche nel caso in cui si considerasse $s'(x) = 0 $ quel polinomio non può annullarsi.
Mi pare corretto: anche nel caso in cui si considerasse $s'(x) = 0 $ quel polinomio non può annullarsi.
Va benissimo.
Un altro modo consiste nel constatare che il laplaciano di $u$ (se non ho sbagliato i calcoli fatti a volo) è:
$Delta u(x,y) = 8x^2 - 4y^2 + 24y^3 != 0$,
quindi $u$ non è armonica e perciò non può essere né parte reale né coefficiente della parte immaginaria di una funzione olomorfa.
E no, a meno che non riesci a riconoscere "a occhio" la funzione di cui $u$ è la parte reale (il che, con un po' di esperienza, a volte riesce), non ci sono strade più semplici di queste.
Un altro modo consiste nel constatare che il laplaciano di $u$ (se non ho sbagliato i calcoli fatti a volo) è:
$Delta u(x,y) = 8x^2 - 4y^2 + 24y^3 != 0$,
quindi $u$ non è armonica e perciò non può essere né parte reale né coefficiente della parte immaginaria di una funzione olomorfa.
E no, a meno che non riesci a riconoscere "a occhio" la funzione di cui $u$ è la parte reale (il che, con un po' di esperienza, a volte riesce), non ci sono strade più semplici di queste.
Ok, grazie mille
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