Esercizio su convergenza monotona/convergenza dominata
Salve a tutti.
Ho questo esercizio:
Calcolare \[ \lim_{n \to + \infty} \int_0^{+\infty} \left ( 1+ \frac{x}{n} \right )^{n} e^{-3x} \text{ d}x . \]
Vi propongo il mio ragionamento che credo sia corretto (grazie anche a qualche suggerimento avuto qui sul forum..grazie.)
Se posso invertire limite e integrale, di conseguenza l'esercizio diventa facile.
Devo poter applicare il teorema di convergenza monotona: a tal fine le $fn$ devono essere misurabili, non negative e ci deve essere monotonia crescente.
Sotto queste ipotesi, l'integrale del limite di $fn$ sarà uguale al limite dell'integrale di $fn$.
Chiamo $fn$ = $ (1+ x/n) ^(n) e^(-3x)$
Essa è combinazioni di funzioni continue che sono misurabili , non negative e, valutando con opportuni calcoli la monotonia, risulta monotona crescente.
Posso dunque applicare il teorema di convergenza monotona.
Il limite di $(1+ x/n) ^(n) e^(-3x)$ è $e^x$ e quindi avrei da svolgere un semplice integrale da $0$ a $+\infty$ di $e^x e^(-3x)$
Ecco, ho una domanda.
Solitamente alla presenza di esercizi della serie "integrale e limite" ho sempre visto ragionamenti col teorema di convergenza dominata.
Avrei potuto applicarlo anche in questo caso?
Negli esercizi di questo tipo esiste solo una strada? Cioè devo "scegliere" di applicare un unico teorema?
Ho questo esercizio:
Calcolare \[ \lim_{n \to + \infty} \int_0^{+\infty} \left ( 1+ \frac{x}{n} \right )^{n} e^{-3x} \text{ d}x . \]
Vi propongo il mio ragionamento che credo sia corretto (grazie anche a qualche suggerimento avuto qui sul forum..grazie.)
Se posso invertire limite e integrale, di conseguenza l'esercizio diventa facile.
Devo poter applicare il teorema di convergenza monotona: a tal fine le $fn$ devono essere misurabili, non negative e ci deve essere monotonia crescente.
Sotto queste ipotesi, l'integrale del limite di $fn$ sarà uguale al limite dell'integrale di $fn$.
Chiamo $fn$ = $ (1+ x/n) ^(n) e^(-3x)$
Essa è combinazioni di funzioni continue che sono misurabili , non negative e, valutando con opportuni calcoli la monotonia, risulta monotona crescente.
Posso dunque applicare il teorema di convergenza monotona.
Il limite di $(1+ x/n) ^(n) e^(-3x)$ è $e^x$ e quindi avrei da svolgere un semplice integrale da $0$ a $+\infty$ di $e^x e^(-3x)$
Ecco, ho una domanda.
Solitamente alla presenza di esercizi della serie "integrale e limite" ho sempre visto ragionamenti col teorema di convergenza dominata.
Avrei potuto applicarlo anche in questo caso?
Negli esercizi di questo tipo esiste solo una strada? Cioè devo "scegliere" di applicare un unico teorema?
Risposte
Per \(x\geq 0\) la successione \(\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\) è monotona crescente e converge a \(e^x\). Di conseguenza
\[
0\leq f_n(x) \leq e^{x} e^{-3x} = e^{-2x} \in L^1([0,+\infty)),
\]
per cui puoi applicare il teorema di convergenza dominata (o anche quello di convergenza monotona).
\[
0\leq f_n(x) \leq e^{x} e^{-3x} = e^{-2x} \in L^1([0,+\infty)),
\]
per cui puoi applicare il teorema di convergenza dominata (o anche quello di convergenza monotona).
chiarissimo,grazie mille
Benissimo grazie
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