Esercizio su continuità di un operatore
Ciao a tutti devo dimostrare che questo operatore è continuo, io ci ho provato ma non so se sono giusti i passaggi perché mi sembra troppo lunga la dimostrazione, mentre il professore aveva detto che era semplice.
L'operatore $$Tf(x): L^2 ((0,1)) \rightarrow L^2((0,1))$$ ed è tale che $$Tf(x)=\int_{0}^{x} {f(y) dy}$$
Per dimostrare che è continuo devo dimostrare che $||Tf(x)||_{L^2 ((0,1))} \leq C||f(x)||_{L^2 ((0,1))}$.
$$||Tf(x)||^2 = \int_{0}^{1} |\int_{0}^{x} {f(y) dy} |^2 dx \leq \int_{0}^{1} ( \int_{0}^{x} {|f(y)| dy} )^2 dx $$
Ora io ho detto poiché per la disuguaglianza di holder si ha che
$$\int_{0}^{x} {|f(y)| dy} \leq \int_{0}^{1} {|f(y)| \cdot 1 dy} \leq ||f||^2 \cdot 1$$
Allora l'integrale
$$ \int_{0}^{1} ( \int_{0}^{x} {|f(y)| dy} )^2 dx \leq \int_{0}^{1} ||f||^2 dy = ||f||^2$$
E' giusto o sbaglio qualcosa sulla norma?.
Ah poi mi chiede di calcolare la norma e se ho fatto bene i conti la norma è $1$.
L'operatore $$Tf(x): L^2 ((0,1)) \rightarrow L^2((0,1))$$ ed è tale che $$Tf(x)=\int_{0}^{x} {f(y) dy}$$
Per dimostrare che è continuo devo dimostrare che $||Tf(x)||_{L^2 ((0,1))} \leq C||f(x)||_{L^2 ((0,1))}$.
$$||Tf(x)||^2 = \int_{0}^{1} |\int_{0}^{x} {f(y) dy} |^2 dx \leq \int_{0}^{1} ( \int_{0}^{x} {|f(y)| dy} )^2 dx $$
Ora io ho detto poiché per la disuguaglianza di holder si ha che
$$\int_{0}^{x} {|f(y)| dy} \leq \int_{0}^{1} {|f(y)| \cdot 1 dy} \leq ||f||^2 \cdot 1$$
Allora l'integrale
$$ \int_{0}^{1} ( \int_{0}^{x} {|f(y)| dy} )^2 dx \leq \int_{0}^{1} ||f||^2 dy = ||f||^2$$
E' giusto o sbaglio qualcosa sulla norma?.
Ah poi mi chiede di calcolare la norma e se ho fatto bene i conti la norma è $1$.
Risposte
E' giusto, ma hai dimostrato soltanto che $\||Tf\|| \leq \||f\||$ e quindi $\||T \||\leq 1$. Per dimostrare che è esattamente uno dovresti mostrare una funzione $f$ tale che $\||Tf\||= \||f\||$. O più in generale basta che trovi una successione tale che $\frac{\||Tf_n \||}{\||f_n\||} \to 1$.
In effetti, puoi raffinare la disuguaglianza:
$$\Bigg( \int_0^x f(y) dy \Bigg)^2= \Bigg(\int_0^1 f(y) \chi_{[0,x]}(y) dy \Bigg)^2 \leq \|f\|_2^2 \int_0^1 \chi_{[0,x]}^2(y)dy = \|f\|_2^2 x$$
Perciò, $$\|Tf \|_2^2 \leq \|f\|_2^2 \int_0^1xdx=\frac{1}{2} \|f\|_2^2$$
Questo mostra che $\||T\|| \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$. Perciò, puoi provare a vedere se la norma è proprio $\frac{1}{\sqrt{2}}$
In effetti, puoi raffinare la disuguaglianza:
$$\Bigg( \int_0^x f(y) dy \Bigg)^2= \Bigg(\int_0^1 f(y) \chi_{[0,x]}(y) dy \Bigg)^2 \leq \|f\|_2^2 \int_0^1 \chi_{[0,x]}^2(y)dy = \|f\|_2^2 x$$
Perciò, $$\|Tf \|_2^2 \leq \|f\|_2^2 \int_0^1xdx=\frac{1}{2} \|f\|_2^2$$
Questo mostra che $\||T\|| \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$. Perciò, puoi provare a vedere se la norma è proprio $\frac{1}{\sqrt{2}}$
"Antimius":
E' giusto, ma hai dimostrato soltanto che $\||Tf\|| \leq \||f\||$ e quindi $\||T \||\leq 1$. Per dimostrare che è esattamente uno dovresti mostrare una funzione $f$ tale che $\||Tf\||= \||f\||$. O più in generale basta che trovi una successione tale che $\frac{\||Tf_n \||}{\||f_n\||} \to 1$.
In effetti, puoi raffinare la disuguaglianza:
$$\Bigg( \int_0^x f(y) dy \Bigg)^2= \Bigg(\int_0^1 f(y) \chi_{[0,x]}(y) dy \Bigg)^2 \leq \|f\|_2^2 \int_0^1 \chi_{[0,x]}^2(y)dy = \|f\|_2^2 x$$
Perciò, $$\|Tf \|_2^2 \leq \|f\|_2^2 \int_0^1xdx=\frac{1}{2} \|f\|_2^2$$
Questo mostra che $\||T\|| \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$. Perciò, puoi provare a vedere se la norma è proprio $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Grazie mille. Per dimostrare che è un operatore compatto come posso fare?
Perché so che un operatore è compatto se porta limitati in precompatti, ma forse è più facile utilizzare il lemma che dice che $T$ è compatto se e solo se, se $f_n$ converge debole a $f$ allora deve essere che $Tf_n$ converge forte a $Tf$.
Come posso procedere?
La caratterizzazione che hai citato è più operativa. Prova ad applicarla, ad occhio non mi sembra tanto difficile.
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