[Esercizio] Simmetrico implica limitato

[Bremen000]

Propongo il seguente esercizio di analisi funzionale che mi ha stupito per le diverse dimostrazioni (3) che ne ho viste fare, magari ne salta fuori una quarta! Se è un fatto arcinoto o banale non vogliatemene: non lo sapevo!


Proposizione

Sia $H$ uno spazio di Hilbert infinito dimensionale reale e sia $T$ un operatore lineare da tutto $H$ in $H$.
Se $T$ è simmetrico, ovvero soddisfa

\[ \langle Tx, y \rangle = \langle x, Ty \rangle \quad \forall x, y \in H \]

allora $T$ è limitato.

[Sk_Anonymous]

Teorema del grafico chiuso? Se \( \{ (x_n , T x_n ) \}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq H \times H \) e' tale che \( (x_n , T x_n ) \to( \bar{x}, \bar{y} ) \in H \times H \) voglio dimostrare che \( T \bar{x} = \bar{y} \); siccome per ogni \( u \in H\) si ha \[\begin{split} \langle T \bar{x} - \bar{y} ,u \rangle & = \langle T (\bar{x} - x_n),u\rangle + \langle Tx_n - \bar{y},u\rangle \\ & = \underbrace{\langle \bar{x} - x_n,Tu\rangle}_{\to 0} + \underbrace{\langle Tx_n - \bar{y},u\rangle}_{\to 0} \end{split} \]ne segue appunto che \(T \bar{x}=\bar{y}\). Il grafico di \(T\) e' chiuso (chiusura e chiusura sequenziale sono condizioni equivalenti negli spazi metrici) in \(H \times H\) quindi \(T\) e' continuo.

E' tardi, ti torna?

Edit. Credo si possa fare anche con Banach-Steinhaus. Domani ci penso.

[Bremen000]

@Delirium

Ciao! Si mi torna, questo è un modo! E Banach-Steinhaus era l'altro che ho visto. Poi ce ne è un terzo più casereccio (i.e. quando non ti viene in mente di applicare uno dei due teoremi sopra...).

[gugo82]

Simpatica ‘sta cosa! Non ci avevo mai fatto caso.
Nice find.

[Bremen000]

Vedo che non ci sono molti fan degli spazi di Hilbert . Metto la dimostrazione casereccia per chi fosse interessato:

Poiché $T$ è simmetrico, lineare e definito ovunque anche $T^2 = T \circ T$ è simmetrico, lineare e definito ovunque.

Siano $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset H$ e $x \in H$ tali che $x_n \to x$. Voglio mostrare che $Tx_n \to Tx$.

Le successioni $\{Tx_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ e $\{T^2x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ sono debolmente convergenti rispettivamente a $Tx$ e $T^2x$. Infatti, sia $A=T$ o $A= T^2$, allora per ogni $y \in H$ si ha:

\[ \langle Ax_n, y \rangle = \langle x_n, Ay \rangle \to \langle x, Ay \rangle = \langle Ax, y \rangle \]

e dunque le successioni $\{Tx_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ e $\{T^2x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ sono anche limitate.

Dimostro che $\{Tx_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ è di Cauchy:

\[ \| Tx_n - Tx_m \|^2 = \langle Tx_n - Tx_m, Tx_n - Tx_m \rangle = \langle (x_n-x_m), T^2(x_n-x_m) \rangle \leq \|x_n-x_m\| \|T^2x_n -T^2x_m\| \leq \|x_n-x_m\| (\|T^2x_n\| + \|T^2x_m\|) \to 0 \]
Ma dunque esiste $z \in H$ t.c. $Tx_n \to z$ ma quindi vale anche \( Tx_n \rightharpoonup z \) ma la topologia debole è T2 e quindi $z=Tx$.