[Esercizio proposto] Anelli conformi
Vi propongo un esercizio di analisi complessa interessante, che per mia "sfortuna" mi sono ritrovato in esame qualche mese fa 
Io non ho, tutt'ora oggi, alcuna idea di come fare una direzione.
Siano \(r_1,r_2,R_1,R_2 >0\) e \( A_i := \{z \in \mathbb{C} : \left| z \right| \in (r_i,R_i) \} \) per \( i=1,2 \), dimostrare che esiste una mappa conforme \( \phi : A_1 \to A_2 \) se e solo se \( R_1/r_1 = R_2/r_2 \).
Io non ho, tutt'ora oggi, alcuna idea di come fare una direzione.
Siano \(r_1,r_2,R_1,R_2 >0\) e \( A_i := \{z \in \mathbb{C} : \left| z \right| \in (r_i,R_i) \} \) per \( i=1,2 \), dimostrare che esiste una mappa conforme \( \phi : A_1 \to A_2 \) se e solo se \( R_1/r_1 = R_2/r_2 \).
Risposte
In Walter Rudin, Real and complex analysis trovi l'esercizio come teorema:
Ad ogni modo, la dimostrazione della condizione necessaria è piuttosto articolata.
Ad ogni modo, la dimostrazione della condizione necessaria è piuttosto articolata.
Avevamo trovato su internet una soluzione basata sul principio della riflessione di Schwarz, ricordi? Però non la trovo più e non riesco a ricostruirla facilmente.
Qua ce ne sono altre:
https://math.stackexchange.com/q/133578/8157
Qua ce ne sono altre:
https://math.stackexchange.com/q/133578/8157
Si ricordo, e non ricordo nemmeno io dove l'avevi trovata. Mentre la soluzione di math stack exchange mi ricordo che l'avevi già trovata, così come la dimostrazione sul Rudin sapevo che c'era perché l'assistente mi ha detto dopo l'esame che c'era una dimostrazione lì. Ma forse non mi sono spiegato bene, l'idea di questo thread era rivolto a chi avesse voluto provare a dimostrarlo da sé, più che per me di domandare una dimostrazione.
Ottima iniziativa!
[ot]Se vuoi possiamo provare a ricostruire la dimostrazione basata sul principio della riflessione, così la impariamo davvero. Se ce la siamo dimenticata, significa che non l'abbiamo mai davvero imparata.
Io direi che il primo step è ricondursi al caso degli anelli
\[
A_1=\{a_1<|z|<1\},\qquad A_2=\{a_2<|z|<1\}.\]
Dobbiamo dimostrare che se esiste una mappa olomorfa, bigettiva e con inversa olomorfa \(\phi\colon A_1\to A_2\) allora \(a_1=a_2\).
Ora però non ricordo l'enunciato del principio della riflessione di Schwarz nel caso del disco unitario, e su Wikipedia trovo solo l'enunciato per il semi-piano. Puoi ricordare questo enunciato, per favore?[/ot]
[ot]Se vuoi possiamo provare a ricostruire la dimostrazione basata sul principio della riflessione, così la impariamo davvero. Se ce la siamo dimenticata, significa che non l'abbiamo mai davvero imparata.
Io direi che il primo step è ricondursi al caso degli anelli
\[
A_1=\{a_1<|z|<1\},\qquad A_2=\{a_2<|z|<1\}.\]
Dobbiamo dimostrare che se esiste una mappa olomorfa, bigettiva e con inversa olomorfa \(\phi\colon A_1\to A_2\) allora \(a_1=a_2\).
Ora però non ricordo l'enunciato del principio della riflessione di Schwarz nel caso del disco unitario, e su Wikipedia trovo solo l'enunciato per il semi-piano. Puoi ricordare questo enunciato, per favore?[/ot]
[ot]Volentieri!!
Il lemma di Schwarz enunciato come l'ho io è il seguente
Se \( f : \mathbb{D} \to \mathbb{D} \) è una funzione olomorfa con \( f(0)=0 \), abbiamo allora \( \left| f(z) \right| \leq \left| z \right| \) e \( \left| f'(0) \right| \leq 1 \). In più se \( \left| f'(z_0) \right| \leq \left| z_0 \right| \) per \( z_0 \in \mathbb{D} \setminus \{0\} \) oppure \( \left| f'(0) \right| = 1 \), allora \( f(z)=e^{i \theta} z \) per un qualche \( \theta \in \mathbb{R} \).
Da cui poi si deduce che se \( \phi : \mathbb{D} \to \mathbb{D} \) è un applicazione conforme con \( \phi(0) = 0 \) allora \( \phi \) è una rotazione.
Piccola nota non c'è bisogno di richiedere che l'inversa di un'applicazione conforme sia olomorfa. Perché segue come corollario del fatto che la derivata di una funzione olomorfa e biiettiva non si annulla. Dunque hai che l'inversa è olomorfa. Quindi è sufficiente dimostrare che è biiettiva e olomorfa. Infatti la definizione che ho io di applicazione conforme è che dev'essere biiettiva e olomorfa.[/ot]
Il lemma di Schwarz enunciato come l'ho io è il seguente
Se \( f : \mathbb{D} \to \mathbb{D} \) è una funzione olomorfa con \( f(0)=0 \), abbiamo allora \( \left| f(z) \right| \leq \left| z \right| \) e \( \left| f'(0) \right| \leq 1 \). In più se \( \left| f'(z_0) \right| \leq \left| z_0 \right| \) per \( z_0 \in \mathbb{D} \setminus \{0\} \) oppure \( \left| f'(0) \right| = 1 \), allora \( f(z)=e^{i \theta} z \) per un qualche \( \theta \in \mathbb{R} \).
Da cui poi si deduce che se \( \phi : \mathbb{D} \to \mathbb{D} \) è un applicazione conforme con \( \phi(0) = 0 \) allora \( \phi \) è una rotazione.
Piccola nota non c'è bisogno di richiedere che l'inversa di un'applicazione conforme sia olomorfa. Perché segue come corollario del fatto che la derivata di una funzione olomorfa e biiettiva non si annulla. Dunque hai che l'inversa è olomorfa. Quindi è sufficiente dimostrare che è biiettiva e olomorfa. Infatti la definizione che ho io di applicazione conforme è che dev'essere biiettiva e olomorfa.[/ot]
Grazie mille per l'osservazione sulla derivata che non si può annullare. Imparo sempre qualcosa dalle conversazioni con te. Però quanto a Schwarz, non era questo ciò che mi aspettavo. Io vorrei qualcosa che mi permette di estendere la mappa \(\phi\colon A_1\to A_2\) a un dominio più grande.
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