Esercizio operatore differenziale

[eele1]

Ciao a tutti! Sto studiando per un esame sui principali operatori alle derivate parziali e mi sono imbattuta in questo esercizio il cui testo dice:
Sia $L_a$ operatore definito da $$L_a = \sum_{i,j}=a^{ij} \partial ^2 _{ij}$$ con $A=(a^{ij})$ matrice simmetrica, definita positiva a coefficienti costanti. Sia $\Omega$ aperto di $\mathbb{R}^n$ e sia $u$ una funzione di classe $C^2(\Omega , \mathbb{R})$ soluzione di $L_a u(x)=f(x)$. Si determini una matrice $V \in M_{n,n}$ invertibile tale che posto $v(y)=u(Vy)$, $v$ sia soluzione di $\triangle v(y) = f(Vy)$.

Ho provato a ragionare partendo dal fatto che l'operatore $\triangle$ (il Laplaciano) ha come matrice l'identità e facendomi un po' di esempi e conti direi che la matrice $V$ è la matrice $A$ stessa....
Come posso formalizzare il ragionamento?

[killing_buddha]

Esiste un cambio di base $V$ che fa diventare $A$ la matrice identica (teorema spettrale reale + il fatto che ogni matrice simmetrica si diagonalizza ortogonalmente + il fatto che ti è data definita positiva). Siccome tutto è scalare, coniugare $L_a$ per $V$ ti dà
\[V^t L_a V = \sum_{i,j} v_{ij}a^{ij}v^{ij}\partial_{ij}^2 = \Delta\]

[eele1]

Ok, bene quindi la mia $V$ è la matrice tale che avvenga $V^t A V= I_n$ .

Ma di preciso il fatto che $A$ mi venga data definita positiva a cosa mi serve nel ragionamento che hai fatto?

Comunque grazie mille per la risposta veloce!!

[killing_buddha]

Ti serve per ricondurre $L_a$ al laplaciano: altrimenti otterresti \(V^tAV= \mathbb{I}_p \oplus (-\mathbb{I}_{n-p})\) dove $p$ è la segnature di $A$.