Esercizio derivata distribuzionale
Come calcolo la derivata distribuzionale di $ T_(H(2x)) + 5delta_3(2x) $ ?
Io comincio con $ + $, ma poi continuando i calcoli non ottengo il risultato corretto.
Come devo procedere? Scusate ma ho appena cominciato a studiare le distribuzioni e sto avendo qualche difficoltà...
Io comincio con $
Come devo procedere? Scusate ma ho appena cominciato a studiare le distribuzioni e sto avendo qualche difficoltà...
Risposte
Cos'è \(T\)? E quel passaggio che hai fatto che cosa sarebbe??
Mi scrivi la definizione di derivata distribuzionale?
Mi scrivi la definizione di derivata distribuzionale?
\(\displaystyle T \) è il simbolo che indica la distribuzione. Ho applicato la proprietà di linearità, l'operazione di riscalamento e di moltiplicazione. Se però continuo facendo la derivata non ottengo il risultato corretto... sbaglio qualcosa?
"grad90":
Come calcolo la derivata distribuzionale di $ T_(H(2x)) + 5delta_3(2x) $ ?
La derivata del primo pezzo, cioè della distribuzione associata alla funzione $H(2x)$ (dove $H$ è la funzione di Heaviside) è $T_{H(2x)} ' = \delta_0$. Infatti per ogni funzione test $\varphi \in C_0^{\infty}(\RR)$ si ha
\[ < T_{H(2x)} ' , \varphi > = - < T_{H(2x)} , \varphi '> = - \int_{\mathbb{R}} \varphi' (s) H(2s) \text{ d} s = - \int_{[0, + \infty[} \varphi' (s) \text{ d} s = \varphi (0) = < \delta_0 , \varphi > . \]
Il secondo pezzo è $5 \delta_3$ ?
Ok, fin qui ci sono, ma non capisco perchè non mi esca lo stesso risultato usando la formula del riscalamento:
$ = $
e quindi, passando alla derivata dovrebbe essere:
$ -int_(0)^(+oo) (1/2delta'(x/2))(1/2) dx $, (dove il secondo \(\displaystyle 1/2 \) lo ottengo derivando l'argomento di \(\displaystyle \delta \))
che però non porta allo stesso risultato. Cosa c'è che non va?
$
e quindi, passando alla derivata dovrebbe essere:
$ -int_(0)^(+oo) (1/2delta'(x/2))(1/2) dx $, (dove il secondo \(\displaystyle 1/2 \) lo ottengo derivando l'argomento di \(\displaystyle \delta \))
che però non porta allo stesso risultato. Cosa c'è che non va?
Non so dire se il tuo modo di procedere nei conti ha, come spesso accade, un qualche senso naive.
Rigorosamente parlando sia $T_{H(2x)}$ che $\delta$ sono distribuzioni, quindi sono funzionali definiti su $\mathcal{D}(\RR)$ (lo spazio delle funzioni test). $\delta(x)$ (come funzione di variabile $x \in \RR$) non ha senso; non ha senso neppure andare ad integrarla o andare a prendere $$, non essendo $\delta \in \mathcal{D}(\RR)$. Quindi ci sono evidenti imprecisioni sospetto dovute al fatto che non hai ben chiaro con che "oggetti" stai lavorando.
La formulina a cui alludi tu è questa: data per esempio $f \in L^1(\RR)$, $\varphi \in \mathcal{D}(\RR)$, facendo un cambio di variabile si ottiene:
\[ < T_{f(2x)} , \varphi(x) > = \int_{\mathbb{R}} f(2x) \varphi(x) \text{ d} x = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}} f(y) \varphi \left ( \frac{y}{2} \right ) \text{ d} y = \frac{1}{2} < T_{f(x)} , \varphi \left ( \frac{x}{2} \right ) >. \]
Non so però a cosa ti serva.
EDIT: Mi è sorto il dubbio che tu con $\delta$ possa indicare, oltre che la $\delta$ di Dirac, anche una generica funzione test. Comunque sia dovresti spiegarmi il significato di "$\delta_3 (2x)$".
Rigorosamente parlando sia $T_{H(2x)}$ che $\delta$ sono distribuzioni, quindi sono funzionali definiti su $\mathcal{D}(\RR)$ (lo spazio delle funzioni test). $\delta(x)$ (come funzione di variabile $x \in \RR$) non ha senso; non ha senso neppure andare ad integrarla o andare a prendere $
La formulina a cui alludi tu è questa: data per esempio $f \in L^1(\RR)$, $\varphi \in \mathcal{D}(\RR)$, facendo un cambio di variabile si ottiene:
\[ < T_{f(2x)} , \varphi(x) > = \int_{\mathbb{R}} f(2x) \varphi(x) \text{ d} x = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}} f(y) \varphi \left ( \frac{y}{2} \right ) \text{ d} y = \frac{1}{2} < T_{f(x)} , \varphi \left ( \frac{x}{2} \right ) >. \]
Non so però a cosa ti serva.
EDIT: Mi è sorto il dubbio che tu con $\delta$ possa indicare, oltre che la $\delta$ di Dirac, anche una generica funzione test. Comunque sia dovresti spiegarmi il significato di "$\delta_3 (2x)$".
sì, scusami, ho sbagliato a scrivere!! Intendevo scrivere \(\displaystyle \varphi \) nel mio procedimento, proprio ad indicare la funzione di test. Invece la $ delta $ della traccia era giusta e indicava la delta di Dirac.
Il fatto di indicare \(\displaystyle (x) \) mi è stato detto a lezione che non vuol dire 'funzione di x', ma viene adoperato solo come notazione (impropria) per semplificare i calcoli.
Comunque non riesco ancora a capire perchè il procedimento di prima (correggendo l'errore di scrittura indicato sopra) non dà il risultato corretto...
Il fatto di indicare \(\displaystyle (x) \) mi è stato detto a lezione che non vuol dire 'funzione di x', ma viene adoperato solo come notazione (impropria) per semplificare i calcoli.
Comunque non riesco ancora a capire perchè il procedimento di prima (correggendo l'errore di scrittura indicato sopra) non dà il risultato corretto...
Va bene che è una notazione impropria, ma non è chiaro (a me) cosa stia a significare.
Per quanto riguarda il tuo dubbio, ti stai perdendo su questa uguaglianza "puntuale":
\[ = < T_{H(x)} , \frac{1}{2} \varphi \left ( \frac{x}{2} \right ) > . \]
Rifletti su cosa significa passare alla derivata (come dici tu) in questo punto.
Per quanto riguarda il tuo dubbio, ti stai perdendo su questa uguaglianza "puntuale":
\[
Rifletti su cosa significa passare alla derivata (come dici tu) in questo punto.
Dovrebbe corrispondere, come ho scritto prima, a $ -int_(-oo)^(+oo) H(x)(1/2delta'(x/2))(1/2) dx $ = $ -int_(0)^(+oo) (1/2delta'(x/2))(1/2) dx $, ossia sposto il calcolo della derivata sulla funzione di test
@grad90: Devo dire che lo stesso dubbio è venuto anche a me. Il calcolo corretto è
\[
(H(2x))'=2\delta(2x)=\delta(x),\]
e l'ultima uguaglianza viene dalla proprietà di riscalamento della delta di Dirac (nota che da identità come queste si capisce che la \(\delta\) non può essere una vera funzione). Per ricordarti velocemente la proprietà di riscalamento o fai come Seneca (e questo è il metodo matematico rigoroso) oppure fai alla maniera di fisici e ingegneri: siccome
\[
\delta(x)=\lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\epsilon}\zeta\left( \frac{x}{\epsilon}\right), \]
dove \(\zeta\) è una funzione che integra a \(1\) (questa è la costruzione della delta come un picco estremamente concentrato), allora
\[
\delta(2x)=\lim_{\eta\to 0}\frac{1}{2\eta} \zeta\left( \frac{2x}{2\eta}\right) = \frac12 \delta(x).\]
\[
(H(2x))'=2\delta(2x)=\delta(x),\]
e l'ultima uguaglianza viene dalla proprietà di riscalamento della delta di Dirac (nota che da identità come queste si capisce che la \(\delta\) non può essere una vera funzione). Per ricordarti velocemente la proprietà di riscalamento o fai come Seneca (e questo è il metodo matematico rigoroso) oppure fai alla maniera di fisici e ingegneri: siccome
\[
\delta(x)=\lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\epsilon}\zeta\left( \frac{x}{\epsilon}\right), \]
dove \(\zeta\) è una funzione che integra a \(1\) (questa è la costruzione della delta come un picco estremamente concentrato), allora
\[
\delta(2x)=\lim_{\eta\to 0}\frac{1}{2\eta} \zeta\left( \frac{2x}{2\eta}\right) = \frac12 \delta(x).\]
e la derivata di $ 5delta_3(2x) $ come la calcolo invece?
Beh vabbé, secondo me questa puoi anche calcolartela da solo. Pensaci un po' e, se proprio non ci riesci, di' dove hai trovato difficoltà. Tra l'altro non hai neanche mai detto cosa significa $\delta_3$.
Risolto, grazie a tutti!
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