Esercizio con limite di integrale
Ho il seguente esercizio e non so come svolgerlo.
Si mostri che
$lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{0}^{\infty}(1+x/n)^(-n)x^(-n)dx=1$
Io ho provato a dividere l'intervallo da zero a uno e da uno a infinito e poi ad applicare qualche teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Non sono riuscito ad arrivare a nessun risultato e non credo neanche che sia la strada giusta visto che il limite della successione di funzioni integrande non mi pare in grado di poter soddisfare la tesi. Qualcuno sa darmi una mano? Grazie
Si mostri che
$lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{0}^{\infty}(1+x/n)^(-n)x^(-n)dx=1$
Io ho provato a dividere l'intervallo da zero a uno e da uno a infinito e poi ad applicare qualche teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Non sono riuscito ad arrivare a nessun risultato e non credo neanche che sia la strada giusta visto che il limite della successione di funzioni integrande non mi pare in grado di poter soddisfare la tesi. Qualcuno sa darmi una mano? Grazie
Risposte
C'è qualquadra che non cosa...
Infatti...
@dan95:
[ot]:lol:[/ot]
@Glimpsyd: sei sicuro del testo? Da dov’è preso l’esercizio?
@dan95:
[ot]:lol:[/ot]
@Glimpsyd: sei sicuro del testo? Da dov’è preso l’esercizio?
è un esercizio preso dalle schede di esercizi che ci ha dato il professore per il corso di analisi reale (Sapienza).
Anche voi pensate sia sbagliato il testo? Ci sono stato per due ore ieri :/
Anche voi pensate sia sbagliato il testo? Ci sono stato per due ore ieri :/
Sei sicuro che l'intervallo di integrazione non sia da 1 a $+\infty$? Perché altrimenti non convergerebbe per nessun $n$
Effettivamente se fosse da $1$ a $+\infty$ si potrebbe applicare il teorema della convergenza dominata visto che la successione ${f_n}_(n\in\mathbb{N})$ delle funzioni integrande è decrescente e che $f_1$ è integrabile su $(1,+\infty)$.
A questo punto penso che ci sia un errore del testo. Tra l'altro non può neanche essere da 1 a infinito perché limite $\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=0$ se $x\in(1,+\infty)$. Quindi applicando il TCD avrei che $\int_{1}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)dx=0$.
Invece se fosse possibile applicare un teorema di passaggio al limite anche nell'intervallo $(0,1)$ (cosa che non sono riuscito a fare visto che le funzioni non sono crescenti quasi ovunque nell'intervallo) si avrebbe divergenza delle funzioni integrande e dell'integrale quindi non so cosa pensare di questo esercizio
A questo punto penso che ci sia un errore del testo. Tra l'altro non può neanche essere da 1 a infinito perché limite $\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=0$ se $x\in(1,+\infty)$. Quindi applicando il TCD avrei che $\int_{1}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)dx=0$.
Invece se fosse possibile applicare un teorema di passaggio al limite anche nell'intervallo $(0,1)$ (cosa che non sono riuscito a fare visto che le funzioni non sono crescenti quasi ovunque nell'intervallo) si avrebbe divergenza delle funzioni integrande e dell'integrale quindi non so cosa pensare di questo esercizio
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