Esercizio con delta di Dirac

harperf
Buongiorno :)

Vorrei chiedere un aiuto su un esercizio occorso nella prova d'esame di qualche giorno fa nel mio ateneo. C'è l'ultimo punto di questo esercizio (l'integrale) che non capisco come approcciare, ma ora la curiosità è molta.



La mia soluzione che ho pensato stamattina è che:
essendo la delta di dirac pari posso estendere da -infinito a infinito moltiplicando per 1/2

Applicando le proprietà di tale distribuzione avrei: $-1/2\int_\gammag(z)+5/12 dz$ e siccome 5/12 non ha residuo sarebbe come svolgere: $-1/2\int_\gammag(z) dz$
Ma è corretto? Dubito :oops:

Risposte
dissonance
Quella delta di Dirac è solo un distrattore, in realtà l'integrale in \(\xi\) non fa altro che valutare \(\xi\) in \(1\), non occorre (ed anzi è sbagliato, se moltiplichi per \(1/2\)) estenderlo a tutto \(\mathbb R\).

Il fatto che l'integrale di \(5/12\) si annulla è corretto.

Alla fine devi calcolare
\[
\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma g(z)\, dz.\]

harperf
Ti ringrazio per la rispsta dissonance :)

Non ho tuttavia capito perché non debba "estenderlo" a -infinito dato che così è defita nella notazione: $\int_(-oo)^(oo)\delta (x-y)g(y)dy=g(x)$

Grazie

dissonance
Va bene. Ma non moltiplicare per 1/2. La delta è concentrata su 1, nell'intervallo da meno infinito a zero non c'è niente.

vict85
"harperf":
Ti ringrazio per la rispsta dissonance :)

Non ho tuttavia capito perché non debba "estenderlo" a -infinito dato che così è defita nella notazione: $\int_(-oo)^(oo)\delta (x-y)g(y)dy=g(x)$

Grazie


La notazione che ti è stata proposta è davvero discutibile. Al di là del fatto che ti viene proposto come un integrale (cosa solo parzialmente corretta) avrebbero dovuto dirti che \(\displaystyle \int_{A} \delta(x-y)g(y)\,dy = g(x)\) per ogni \(A\supset \{ x \}\). È importante perché \(\displaystyle \lim_{x\searrow 0^{+}}\biggl(\int_{-\infty}^{-x}\delta(y)g(y)\,dy + \int^{\infty}_{x}\delta(y)g(y)\,dy\biggr) = 0 \) anche se potrebbe darti l'impressione che possa fare \(\displaystyle g(0) \).

dissonance
"vict85":

La notazione che ti è stata proposta è davvero discutibile.
Non sono d'accordo: tu già lo sai, ma posto il link per riferimento.

viewtopic.php?p=8407889#p8407889

Dirac non era un matematico, ma non era certo un cretino.

vict85
"dissonance":
[quote="vict85"]
La notazione che ti è stata proposta è davvero discutibile.
Non sono d'accordo: tu già lo sai, ma posto il link per riferimento.

viewtopic.php?p=8407889#p8407889

Dirac non era un matematico, ma non era certo un cretino.[/quote]

Il mio discutibile era principalmente riferito al fatto che l'integrale viene definito su tutto \(\mathbb{R}\). Non ha alcun senso pratico e nessun reale vantaggio rispetto a scrivere qualcosa come \(\displaystyle \int_{x-a}^{x+a}\delta(x-y)g(y)\,dy \) dove \(a>0\). Inoltre ha senza dubbio confuso harperf.
La notazione integrale, viene sicuramente usata con successo da molti, ma va capita e spiegata correttamente. Altrimenti si rischia che lo studente finisca per confondersi e pensare che funzioni esattamente come un integrale normale.

dissonance
Si ha incertezza quando uno degli estremi di integrazione coincide con il supporto di una delta di Dirac. Questo, per esempio, è impreciso:
\[
\int_1^\infty \delta(x-1)f(x)\, dx=?\]
Ma questo è perfettamente interpretabile senza ambiguità:
\[
\int_0^\infty \delta(x-1)f(x)\, dx=f(1).\]
[ot]
Altrimenti si rischia che lo studente finisca per confondersi e pensare che funzioni esattamente come un integrale normale.

La forza di questa notazione è proprio che rende "un integrale normale" operazioni che invece richiedono un passaggio al limite; vedi la dimostrazione del teorema della divergenza del mio post linkato. Ma sono d'accordo che va trattata con cura; per esempio, $\delta(x)^2$ non ha senso, ma $\delta(x^2)$ si.[/ot]

harperf
Grazie per i numerosi interventi, vorrei infatti fare un po' più di chiarezza.

Premettendo che è stata introdotta solo come propedeutico per un futuro corso in cui si userà più massicciamente e penso verrà ridefinita (infatti come vedete l'esercizio era una sciocchezzuola per voialtri che già conoscte questa delta di dirac, insomma era solo per dare una prima occhiata al concetto)

Ad ogni modo mi è stata introdotta dalla professoressa come un limite debole di una successione del tipo N(D(Nx)), detto cioò si è passati a quella notezione per comodità di calcolo poiché si può usare per i calcoli sfruttandolo come integrale.
Il problema è che io pensavo di sfruttarlo proprio come un integrale a tutti gli effetti e ho pensato che essendo la delta """pari""" (molte virgolette non essendo una funzione) dovessi moltiplicarla per 1/2.
A questo punto mi pare che (sempre sotto abuso di notazione) basti prende un """integrale""" con estremi che includano il punto in cui è concentrata la delta di dirac.
Insomma se fosse stato: anziché tra 0 e infinito tra -2 e 2 era perfettamente uguale lo svolgimento del calcolo? Questo vorrei chiedervi

PS: vorrei anche chiedervi se aveste delle letture matematiche serie al riguardo, nel tal caso mi piacerebbe molto approfondire anche per conto mio :)

Vi ringrazio, come sempre, per la vostra gentilezza

dissonance
Ma attenzione perché lì compare \(\delta(x-1)\). Questa non è una funzione pari: \(\delta(-x-1)\) è diverso da \(\delta(x-1)\).

Insomma se fosse stato: anziché tra 0 e infinito tra -2 e 2 era perfettamente uguale lo svolgimento del calcolo?

Esatto.

harperf
"dissonance":
Ma attenzione perché lì compare \(\delta(x-1)\). Questa non è una funzione pari: \(\delta(-x-1)\) è diverso da \(\delta(x-1)\).

Certo, hai anche ragione tu.
Grazie,

PS: vorrei anche chiedervi se aveste delle letture matematiche serie al riguardo, nel tal caso mi piacerebbe molto approfondire anche per conto mio

per la lettura, invece, avresti qualche buon consiglio? :)

dissonance
Dipende da quello che stai studiando.

harperf
Metodi matematici per la fisica (parte uno però)

Ma potrei approfondirla anche in modo autonomo, dici di no? Potrei non essere in grado?
Mi piacerebbe qualcosa di formale

dissonance
Prova a leggere le note di Barozzi, per cominciare:

viewtopic.php?p=619849#p619849

harperf
molto gentile :)
Grazie mille!

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