Esercizio base sulla trasformata di laplace

[CallistoBello]

Determinare la trasformata di laplace della funzione:

$f(t)= { ( (1+t)^2, ", se " 0
Vorrei una conferma sullo svolgimento di questo esercizio.
Mio svolgimento:

$L[(1+t)^2]=L[1+2t+t^2]=L[1]+2L[t]+L[t^2]=1/s+2/s^2+2/s^3$
$L[1+t^2]=L[1]+L[t^2]=1/s+2/s^3$

Risultato:

$F(s)={1/s+2/s^2+2/s^3 t in (0,1) , 1/s+2/s^3 t>=1$

Il semipiano di convergenza è : $Res>0$

[Quinzio]

Scusa, ma ti sembra che abbia un qualche senso scrivere
$ F(s)=1/s+2/s^2+2/s^3$ se $ t in (0,1)$ ???

La $F(s)$ dipende in qualche modo da $t$ ?

Si fa la trasformata proprio per uscire dal dominio del tempo e passare al dominio delle frequenze.
Eseguire gli esercizi in modo meccanico senza capire quello che si fa non porta molto lontano.

Come potresti usare la funzione gradino di Heaviside per fare la trasformata ?

[pilloeffe]

Ciao CallistoBello,

"Quinzio":Come potresti usare la funzione gradino di Heaviside per fare la trasformata ?

Il suggerimento di Quinzio è ottimo, ma onestamente... Non credo che ti sarà sufficiente per venirne a capo!
Innanzitutto immagino che $f(t) $ sia un segnale, cioè che in realtà sia definita nel modo seguente:

$ f(t) := {(0 \text{ se } t < 0),((t + 1)^2 \text{ se } 0 < t < 1),(1 + t^2 \text{ se } t \ge 1):}$

Poi ti ricordo che si può scrivere:

$u(t) := {(1 \text{ se } t > 0),(0 \text{ se } t < 0):} $

Pertanto si ha:

$u(t - 1) = {(1 \text{ se } t - 1 > 0),(0 \text{ se } t - 1 < 0):} = {(1 \text{ se } t > 1),(0 \text{ se } t < 1):}$

$u(1 - t) = {(1 \text{ se } 1 - t > 0),(0 \text{ se } 1 - t < 0):} = {(1 \text{ se } t < 1),(0 \text{ se } t > 1):}$

Tutto ciò premesso, in che modo puoi riscrivere astutamente la funzione che devi trasformare secondo Laplace?

[CallistoBello]

"Quinzio":Scusa, ma ti sembra che abbia un qualche senso scrivere
$ F(s)=1/s+2/s^2+2/s^3$ se $ t in (0,1)$ ???

La $F(s)$ dipende in qualche modo da $t$ ?

Si fa la trasformata proprio per uscire dal dominio del tempo e passare al dominio delle frequenze.
Eseguire gli esercizi in modo meccanico senza capire quello che si fa non porta molto lontano.

Come potresti usare la funzione gradino di Heaviside per fare la trasformata ?

Sono d'accordo che non ha senso specificare $t$ per una $F(s)$.
Però come faccio a definire la trasformata di una funzione definita a tratti?

Ho provato a trasformare $(1+t)^2$ e $1+t^2$ pensando di poterle distinguere in base all'ascissa di convergenza, ma sono entrambe definite per $Res>0$.

"pilloeffe":Il suggerimento di Quinzio è ottimo, ma onestamente... Non credo che ti sarà sufficiente per venirne a capo!
Innanzitutto immagino che f(t) sia un segnale, cioè che in realtà sia definita nel modo seguente:

f(t):=⎧⎩⎨⎪⎪0 se t<0(t+1)2 se 0

Credo che il testo dia per scontato che $f(t)$ sia un segnale.
Quindi in realtà la funzione su cui sto lavorando è la : $f(t)h(t)$, con $h(t)$ funzione di heaviside.

"pilloeffe":Tutto ciò premesso, in che modo puoi riscrivere astutamente la funzione che devi trasformare secondo Laplace?

Non riesco a cogliere il suggerimento.
Ha a che fare con la formula del ritardo nel caso di un s-shift della trasformata?

[pilloeffe]

"CallistoBello":Non riesco a cogliere il suggerimento.

Che ne pensi, prova a vedere se ti convince

$f(t) = [h(1 - t) + t]^2 + h(t - 1) $

"CallistoBello":con $h(t)$ funzione di Heaviside.

Poi è chiaro che si ha:

$\mathcal{L}[f(t)] = \int_0^{+\infty} f(t) e^{- s t} \text{d}t = \int_0^1 (1 + t)^2 e^{- s t} \text{d}t + \int_1^{+\infty} (t^2 + 1) e^{- s t} \text{d}t $

Gli ultimi due integrali sono un classico e dovresti riuscire a risolverli facilmente, ma in caso contrario siamo qua...

[gugo82]

"CallistoBello":[quote="Quinzio"]Scusa, ma ti sembra che abbia un qualche senso scrivere
$ F(s)=1/s+2/s^2+2/s^3$ se $ t in (0,1)$ ???

La $F(s)$ dipende in qualche modo da $t$ ?

Si fa la trasformata proprio per uscire dal dominio del tempo e passare al dominio delle frequenze.
Eseguire gli esercizi in modo meccanico senza capire quello che si fa non porta molto lontano.

Come potresti usare la funzione gradino di Heaviside per fare la trasformata ?

Sono d'accordo che non ha senso specificare $t$ per una $F(s)$.
Però come faccio a definire la trasformata di una funzione definita a tratti?[/quote]
Sei d'accordo, ma scrivi una cosa priva di senso ugualmente? Perché?

Ad ogni buon conto, il gradino e la porta servono proprio a fare questi giochi.
Se $"u"(t)$ è il gradino unitario, è semplice verificare che (a meno di un insieme di misura nulla) hai:

$f(t) = (1+t)^2\ ["u"(t) - "u"(t -1)] + (1+t^2)\ "u"(t-1) = (1+t)^2\ "u"(t) - 2t\ "u"(t-1)$.

Riesci a vederlo?
Riesci a capire come sono usati i gradini e perché?
Riesci a trasformare ora?

[CallistoBello]

"pilloeffe":Che ne pensi, prova a vedere se ti convince

f(t)=[h(1−t)+t]2+h(t−1)

Ok . Utilizzando la funzione di heaviside opportunamente t-traslata ,
sei riuscito a convertire la funzione a tratti $f(t)$ in una funzione standard.

"pilloeffe":oi è chiaro che si ha:

L[f(t)]=∫+∞0f(t)e−stdt=∫10(1+t)2e−stdt+∫+∞1(t2+1)e−stdt

Gli ultimi due integrali sono un classico e dovresti riuscire a risolverli facilmente, ma in caso contrario siamo qua...

In questo caso, siamo costretti ad applicare la definizione di trasformata di laplace?

Personalmente avevo pensato di evitare il calcolo dell'integrale sfruttando la proprietà di linearità.
Nello specifico:

$L[ (h(1-t)+t)^2+h(t-1)](s)=$
$=L[h^2(1-t)+2th(1-t)+t^2+h(t-1)](s)$
$= L[h^2(1-t)](s)+2L[th(1-t)](s)+L[t^2](s)+L[h(t-1)](s)$

dove
-per la trasformata della potenza n-sima , si ha che:
$L[t^2](s)=(2!)/s^3=2/s^3$
-per la formula del ritardo nel caso del t-shift della funzione da trasformare , si ha:
$L[h(t-1)](s)= e^s L[1]=e^s 1/s$

- per linearità si ha che:
$L[th(1-t)]=L[t] L[h(1-t)]=1/s^2 e^s 1/s=e^s 1/s^3$

-
$L[h^2(1-t)](s)= ?$

Però ho problemi nel calcolare questa trasformata.

[pilloeffe]

Stai andando a cercarti rogne inutilmente...
Usa la forma che ti ha già scritto gugo82, oppure usa la definizione di trasformata di Laplace che ti ho scritto alla fine del mio ultimo post...

[CallistoBello]

Allora , ho applicato la definizione di trasformata.

$ int_(0)^(1)(1+t)^2e^(-st) dt $

$=[(1+t)^2e^(-st)/-s]_(0,1) - int_(0)^(1) 2(1+t)e^-(st)/-s dt$
$=[2^2 e^-s/-s -e^0/-s]+2/s int_(0)^(1) (1+t)e^-(st)dt$
$=[(1-4e^-s)/s]+2/s{[(1+t) e^-st/-s]_(0,1)- int_(0)^(1) e^(-st)/-s dt}$
$=(1-4e^-s)/s+2/s{[2e^-s/-s-e^0/-s]+1/s[e^-(st)/-s]_(0,1)}$
$=(1-4e^-s)/s+2/s{-1/s[2e^-s-1]-1/s^2[e^-(s)-e^0]}$
$=(1-4e^-s)/s+2/s{(1-2e^-s)/s+(1-e^-s)/s^2}$
$=(1-4e^-s)/s+(2-4e^-s)/s^2+(2-2e^-s)/s^3$

$ int_(0)^(oo ) (t^2+1)e^(-st)dt $

$=[(t^2+1)e^-(st)/-s]_(1,+ oo )- int_(1)^(+oo ) 2te^-(st) dt$
$=[(t^2+1)e^(-st)/-s]_(1,+oo )-{[2te^(-st)/s^2]_(1,+oo )-int_(1)^(+oo ) 2e^-(st)/s^2 dt}$
$=[(t^2+1)e^(-st)/-s]_(1,+oo )-[2te^(-st)/s^2]_(1,+oo )+2[e^(-st)/-s^3]_(1,+oo )$
$=-2e^-s/-s+2e^-s/s^2+2e^-s/s^3$
$=2e^-s/s+2e^-s/s^2+2e^-s/s^3$

Risultato:
$L[f](s)= (1-4e^-s)/s+(2-4e^-s)/s^2+(2-2e^-s)/s^3+2e^-s/s+2e^-s/s^2+2e^-s/s^3$
$=( s^2-2e^-s(s+1)s+2s+2)/s^3$

https://www.wolframalpha.com/input?i=LT+piecewise%5B%7B%7B%281%2Bt%29%5E2%2C0%3Ct%3C1%7D%2C%7B1%2Bt%5E2%2Ct%3E%3D1%7D%7D%5D
Problema: troppi calcoli.

Ho provato ad applicare la proprietà di linearità nel caso della trasformata della funzione scritta da gugo.

$L[t]=L[(1+t)^2u(t)]-2L[tu(t-1)]$

- I addendo:
$L[(1+t)^2u(t)]=L[(1+t)^2]$
perché moltiplicare per u(t) significa semplicemente considerare il segnale corrispondente a quella funzione
$=L[1+2t+t^2]=L[1]+2L[t]+L[t^2]= 1/s+2/s^2+2/s^3 =(s^2+2s+2)/s^3$

- II addendo:
$L[tu(t-1)](s)= ?$

[pilloeffe]

"CallistoBello":$L[tu(t−1)](s)=$?

Si tratta di una rampa shiftata nel tempo. Potresti dare un'occhiata alle tabelle delle proprietà della trasformata e delle trasformate ad esempio qui.

"CallistoBello":$ L[h^2(1-t)](s)= $?

Comunque si ha:

$\mathcal{L}[h^2(1-t)](s)= \frac{1 - e^{-s}}{s} $

[CallistoBello]

"pilloeffe":[quote="CallistoBello"]$L[tu(t−1)](s)=$?

Si tratta di una rampa shiftata nel tempo. Potresti dare un'occhiata alle tabelle delle proprietà della trasformata e delle trasformate ad esempio qui.

$[/quote]


Applicando la regola dello shift della funzione da trasformare , mi sono trovato col risultato.

Nello specifico:
$L[tu(t-1)]$
qui per ricondurmi alla formula $L[f(t-a)u(t-a)]$ ho sommato e sottratto 1 nell'argomento della trasformata.
$=L[u(t-1)(t-1+1)]= L[(t-1)u(t-1)+u(t-1)]$
per linearità , ho:
$=L[(t-1)u(t-1)]+L[u(t-1)]$
$=e^-s L[t] + e^-sL[1]$
$=e^-s1/s^2+e^-s1/s$
$=e^-s(1/s^2-1/s)$
$=e^-s((1+s)/s^2)$

Risultato:
$L[f]=L[(1+t)^2u(t)]-2L[tu(t-1)]=(s^2+2s+2)/s^3-(2e^-s(s+1))/s^2 =(s^2-2e^-s(s+1)s+2s+2)/s^3$

"pilloeffe":
[quote="CallistoBello"]$ L[h^2(1-t)](s)= $?

Comunque si ha:

$\mathcal{L}[h^2(1-t)](s)= \frac{1 - e^{-s}}{s}
$[/quote]

Che proprietà hai usato?

[pilloeffe]

"CallistoBello":Che proprietà hai usato?

Beh, se osservi bene com'è fatta $h(1 - t)$ dovrebbe risultarti chiaro che si ha:

$ \mathcal{L}[h^2(1-t)](s) = \mathcal{L}[h(1-t)](s) = \mathcal{L}[h(t) - h(t - 1)](s) = 1/s - 1/s e^{- s} = \frac{1 - e^{-s}}{s} $

per $\text{Re}(s) > 0 $
D'altronde, anche applicando direttamente la definizione di trasformata di Laplace si ha:

$ \mathcal{L}[h^2(1-t)](s)= \mathcal{L}[h(1-t)](s) = \int_0^1 e^{- st} \text{d}t = [- e^{- st}/s]_0^1 = - e^{- s}/s + 1/s = \frac{1 - e^{-s}}{s} $

per $\text{Re}(s) > 0 $

[CallistoBello]

"pilloeffe":[quote="CallistoBello"]Che proprietà hai usato?

Beh, se osservi bene com'è fatta $h(1 - t)$ dovrebbe risultarti chiaro che si ha:

$ \mathcal{L}[h^2(1-t)](s) = \mathcal{L}[h(1-t)](s) = \mathcal{L}[h(t) - h(t - 1)](s) = 1/s - 1/s e^{- s} = \frac{1 - e^{-s}}{s} $

per $\text{Re}(s) > 0 $
D'altronde, anche applicando direttamente la definizione di trasformata di Laplace si ha:

$ \mathcal{L}[h^2(1-t)](s)= \mathcal{L}[h(1-t)](s) = \int_0^1 e^{- st} \text{d}t = [- e^{- st}/s]_0^1 = - e^{- s}/s + 1/s = \frac{1 - e^{-s}}{s} $

per $\text{Re}(s) > 0 $[/quote]

Perché puoi togliere il quadrato?

[pilloeffe]

"CallistoBello":Perché puoi togliere il quadrato?

Prova a pensarci: qual è il grafico di $h^2(1 - t) $? Ed il grafico di $h(1 - t) $ ?

Per rispondere ai post si usa il pulsante RISPONDI in fondo ai post, non il pulsante "CITA: raramente è necessario citare tutta la risposta di colui che ti ha risposto, anzi così facendo si appesantisce inutilmente la lettura del thread...

[CallistoBello]

$u^2(1-t) = { ( (1)^2se1-t>0 ),( (0)^2se1-t<0 ):} $
Più in generale:

$u^n(1-t) = { ( (1)^nse1-t>0 ),( (0)^nse1-t<0 ):} $


L'idea è che: siccome la funzione di heaviside è la funzione gradino "unitario", allora
"comunque la si eleva ad una potenza, mi restituirà sempre un gradino unitario".


Però non mi torna la riscrittura di: $h(1-t)$ come $h(t)-h(t-1)$.
Se osserviamo il grafico di : $h(1-t)$

http://www3.wolframalpha.com/input?i=H%281-t%29&lang=en

questo è diverso dal grafico di: $h(t)-h(t-1)$

http://www3.wolframalpha.com/input?i=H%28t%29-H%28t-1%29&lang=en

[pilloeffe]

No, sono uguali: ricordati che $h(1 - t) $ comunque è un segnale, quindi in realtà poi è definito nel modo seguente:

$h(1 - t) := {(1 \text{ se } 0 < t < 1),(0 \text{ altrove }):} $

Sicché si ha proprio $h(1 - t) = h(t)-h(t-1) $

[CallistoBello]

ah ok , sono uguali perché sia $h(1-t)$ che $h(t)-h(t-1)$ bisogna considerarle "nulle" alla sinistra dell'origine.


Chiaro. Grazie mille =)

[gugo82]

"pilloeffe":ricordati che $h(1 - t) $ comunque è un segnale, quindi in realtà poi è definito nel modo seguente:

$h(1 - t) := {(1 \text{ se } 0 < t < 1),(0 \text{ altrove }):} $

Ma anche no... In realtà $h(1-t) = 1$ per ogni $t<1$.

Però potrebbe dipendere dalla definizione di $h$, che non è univoca.