Esercizi su spazi normati.

[Lèo114]

Ciao, mi piacerebbe se qualcuno potesse controllare la correttezza di questi esercizi:

\(\displaystyle \bullet \) Trova la costante \(\displaystyle c \) più grande nella relazione \(\Vert \sum_n\alpha_nx_n\Vert\ge c\sum_n|\alpha_n| \) per un insieme di vettori linearmente indipendenti \(\displaystyle \{x_1,...,x_n\} \) nel caso \(\displaystyle X=\mathbb{R}^2, x_1=(1,0), x_2=(0,1) \).

In questo caso \(\Vert \sum_n\alpha_nx_n\Vert=\Vert (\alpha_1,\alpha_2)\Vert=(\alpha_1^2+\alpha_2^2)^{1/2} \). Quindi, per qualche $c$, \((\alpha_1^2+\alpha_2^2)^{1/2}\ge c(|\alpha_1|+|\alpha_2|) \). Dato che \((\alpha_1^2+\alpha_2^2)^{1/2}\le |\alpha_1|+|\alpha_2| \), deve sicuramente essere \(\displaystyle c\in[0,1) \). Imponendo l'uguaglianza si ottiene \(\displaystyle c=(\alpha_1^2+\alpha_2^2)^{1/2}/(|\alpha_1|+|\alpha_2|) \), che dovrebbe essere anche il valore massimo della costante.

\(\displaystyle \bullet \) Norme equivalenti su $X$ vi inducono la stessa topologia.

Indurre la stessa topologia significa generare gli stessi insiemi aperti. Siccome ogni aperto può essere scritto come unione di palle aperte, bisogna mostrare che se \(\displaystyle B_r(x_0)=\{x\in X:d(x,x_0)0 \).

\(\displaystyle \bullet \) Se due norme sono equivalenti, le successioni di Cauchy nei rispettivi spazi coincidono.

Sia \(\displaystyle x_n \) di Cauchy per \(\displaystyle (X,\Vert\cdot\Vert) \). Si ha dunque \(\displaystyle d(x_n,x_m)=\Vert x_n-x_m\Vert<\epsilon \). \(\displaystyle x_n \) è di Cauchy per \(\displaystyle (X,\Vert\cdot\Vert_0) \) se anche \(\displaystyle \Vert x_n-x_m\Vert_0<\epsilon' \), ma dalla disuguaglianza \(\displaystyle a\Vert x\Vert_0\le\Vert x\Vert\le b\Vert x\Vert_0 \) segue in particolare per \(\displaystyle x_n-x_m \) che \(\displaystyle a\Vert x_n-x_m\Vert\le\Vert x_n-x_m\Vert_0\le b\Vert x_n-x_m\Vert \). Quindi la tesi segue dalla scelta \(\displaystyle \epsilon'=b\epsilon \). Allo stesso modo si può dimostrare che se una successione converge in uno spazio allora converge anche nell'altro.

\(\displaystyle \bullet \) In uno spazio di Banach, una serie assolutamente convergente è convergente.

Non sono molto bravo con le serie, ma ecco un tentativo. Sia \(\displaystyle x_n\in\mathcal{B} \) tale che \(\sum_n \Vert x_n\Vert<\infty \). Si ha \(\Vert\sum_n x_n\Vert\le \sum_n\Vert x_n\Vert \) per la disuguaglianza triangolare, quindi resta da dimostrare che la convergenza di \(\displaystyle \Vert x_1\Vert+\Vert x_2\Vert... \) implica la convergenza di \(\displaystyle x_1+x_2+... \); essendo \(\displaystyle \mathcal{B} \) completo per definizione, basta dimostrare che la successione delle somme parziali \(s_N=\sum^N x_n \) sia di Cauchy, ovvero \(\Vert\sum^N x_n-\sum^M x_n\Vert\to 0 \). Supponendo senza perdita di generalità \(\displaystyle K=N-M>0 \), \(\Vert\sum^N x_n-\sum^M x_n\Vert=\Vert\sum^{K}x_n\Vert\le\sum^{K}\Vert x_n\Vert \). Temo di aver già fatto un po' di confusione fin qui, ma ora arriva il colpo di grazia: posso dire che siccome il fatto che la serie converga assolutamente implichi per il criterio di Cauchy che \(\Vert x_n\Vert\to 0\) allora poiché \(\displaystyle K<\infty \) si ha sicuramente \(\sum^{K}\Vert x_n\Vert\to 0\)? Qualcosa mi dice proprio di no però...

[Bremen000]

Ciao, iniziamo dal primo: io penso si intenda indipendentemente da $\alpha_1$ e $\alpha_2$ perché se no è chiaro che il massimo che cerchi è raggiunto da quello che hai scritto. Io credo tu debba determinare
\[ c=\inf \Biggl \{ \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{|x|+|y|} \mid (x,y )\in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \Biggr \} \]

[Lèo114]

Ah, mi pareva troppo semplice. Si può fare con il classico metodo dell'hessiano, no? Dovrebbe venire qualcosa come \(\displaystyle 1/\sqrt 2 \) prendendo \(\displaystyle \alpha_1=\alpha_2 \)...

[Bremen000]

E il primo è andato!

[Bremen000]

Per quanto riguarda il secondo: l’impostazione è corretta, cioè devi mostrare che:
1. Per ogni $r>0$ e $x_0 \in X$ l’insieme \( \{ x \in X \mid \|x-x_0\| < r \} \) è aperto in \( (X, \| \cdot \|_0 ) \).
2. Per ogni $r>0$ e $x_0 \in X$ l’insieme \( \{ x \in X \mid \|x-x_0\|_0 < r \} \) è aperto in \( (X, \| \cdot \| ) \).

Fatto l’1, il due è identico quindi concentriamoci su quello. Credo sia anche quello che hai scritto tu ma non mi è molto chiaro il filo logico!

[Lèo114]

Sì, l'idea del post originale era quella. Comunque, dovrei dimostrare che ogni \(\displaystyle x\in B_r(x_0)=\{x\in X: \|x-x_0\|

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[Bremen000]

Si devi fare proprio così! Allora fissa \( y \in B= \{ x \in X \mid \|x-x_0\| Considera ora l’insieme \( \{ x \in X \mid \|x-y \|_0 < s/b \} \). Cosa puoi dire?

[Lèo114]

Beh $s$ coincide esattamente con l'\(\displaystyle \inf \) delle distanze di $y$ dal bordo, quindi per forza di cose è interamente contenuta in $B_r$. L'insieme \( \{ x \in X \mid \|x-y \|_0 < s/b \} \) è contenuto in $B_r$, anche se non so se vada bene giustificarlo con questa disuguaglianza: \( \displaystyle a\Vert x-y\Vert_0\le\Vert x-y\Vert< s\), che fa vedere come basta riscalare il raggio di $U$ di un fattore \(\displaystyle 1/a \) per far funzionare le cose.

Se è così, l'idea è bene o male quella di partenza. Solo, prima era detta da schifo

[Bremen000]

Dunque, che \( \{ x \in X \mid \|x-y \|
E la disuguaglianza che usi è sbagliata. Se \( z \in \{ x \in X \mid \|x-y \|_0 < s/b \} \) allora \( \|z-y \|_0 < s/b \) cioè \( s>b\|z-y \|_0 \ge \|z-y\| \) ma allora \( z \in \{ x \in X \mid \|x-y \|
\[ y \in \{ x \in X \mid \|x-y \|_0 < s/b \} \subset \{ x \in X \mid \|x-y \|
Ovvero per ogni $y \in B$ hai trovato un aperto in \( (X, \| \cdot \|_0 ) \) a cui \( y \) appartiene e che è completamente contenuto in $B$.
Cioè $B$ è aperto in \( (X, \| \cdot \|_0 ) \).

Se è tutto chiaro andiamo sul terzo!

[Lèo114]

Ok, adesso ci sono, grazie mille per l'aiuto. Il terzo ha problemi?

[Bremen000]

Il terzo: l'idea è quella corretta ma è scritto male a mio parere. Cioè dipende anche un po' da quale è il livello di rigore che vuoi dare alle tue dimostrazioni. Formalmente dovresti fare così:

Supponiamo \( \{ x_n \} \subset (X, \|\cdot \|) \) sia di Cauchy. Vogliamo dimostrare che è di Cauchy anche in \( (X, \|\cdot\|_0 ) \). Sia \( \epsilon>0 \) fissato. Per definizione di successione di Cauchy in \( (X, \|\cdot \|) \) , esiste un \(N \in \mathbb{N} \) tale che \( \|x_n -x_m \| < a \epsilon \) per ogni \( n, m > N \) (Cioè ho scelto l'epsilon della definizione di Cauchy in \( (X, \|\cdot \|) \) pari a \( a \epsilon \) ).
Dunque, siccome dalla disuguaglianza delle norme hai che \( \epsilon > \|x_n-x_m\| /a \ge \|x_n-x_m \|_0 \), hai dimostrato che se \( n, m > N \) allora \( \|x_n-x_m \|_0 < \epsilon \) ovvero che \( \{ x_n \} \) è di Cauchy in \( (X, \|\cdot\|_0 ) \).

Idem per il viceversa.

[Bremen000]

Anche nel quattro l'idea è quella giusta ma non è scritto bene. Cerca di scrivere bene cosa stai usando e come e da dove a dove vanno gli indici nelle sommatorie.

Nota: la prima cosa che scrivi, cioè che \( \biggl \| \sum_n x_n \biggr \| \le \sum_n \|x_n\| \) non ha significato se non sai che la serie converge nello spazio di Banach. Mettiamo che sai che converge, come si dimostra allora? Di certo non dicendo "disuguaglianza triangolare" perché quella vale per somme finite (qualsiasi cosa voglia dire somma infinita).

Nota 2: vale anche l’inverso, se ti interessa.

[Lèo114]

[highlight][/highlight]Ok, provo a riscrivere il tutto in modo migliore.

"Lèo di nuovo":

Sia \(\displaystyle x_n \) una successione nello spazio \(\displaystyle \mathcal{B} \) di Banach tale che la serie associata converga assolutamente. Data la catena di disuguaglianze: \[\displaystyle \left\|\sum_{n=1}^{m} x_n\right\|\le\sum_{n=1}^{m}\|x_n\|\le\sum_{n=1}^{\infty}\left\| x_n\right\| \ \Rightarrow \ \left\|\sum_{n=1}^{m} x_n\right\|\le\sum_{n=1}^{\infty}\left\| x_n\right\| \] nel limite \(\displaystyle n\to\infty \) la continuità della funzione norma garantisce la validità della relazione \( \| \sum_n^{\infty} x_n \| \le \sum_n^{\infty} \|x_n\| \)[nota]In genere chiamo anche questa disuguaglianza triangolare. E' sbagliato? Comunque è una dimostrazione sportiva perché mi sono reso conto che in realtà non ne ho davvero bisogno [/nota].

Occorre dunque mostrare che la convergenza di \(\sum_n^{\infty} \|x_n\| \) implica \(\sum_n^{\infty} x_n<\infty \). In virtù della completezza di \(\displaystyle \mathcal{B} \), questo si riduce a dimostrare che la serie soddisfi il criterio di Cauchy. Fissato opportunamente \(\displaystyle N_0\in\mathbb{N} \), si ha \(\displaystyle \forall\epsilon>0 \) \[\forall N\ge N_0,M\in\mathbb{N}\qquad\left\Vert\sum_{n=N}^{N+M}x_n\right\Vert\le\sum_{n=N}^{N+M}\Vert x_n\Vert<\epsilon, \] dove l'ultima maggiorazione è data dal fatto che la serie delle norme rispetta certamente il criterio di Cauchy.

[Bremen000]

Per la prima parte: perfetto.
Per la seconda, continuo a farti le pulci, spero non lo interpreterai come eccessiva pedanteria:

Hai scritto male cosa vuol dire che una successione é di Cauchy. Non fissi $N$ e poi per ogni \( \epsilon \) ecc... ma il contrario. Quindi, fissa \( \epsilon >0 \) allora certamente esiste un \( N \in \mathbb{N} \) tale che per ogni \(M \in \mathbb{N} \) si ha \[ \sum_{n=1}^{N+M} \|x_n\| - \sum_{n=1}^{N} \|x_n\| = \sum_{n=N+1}^{N+M} \|x_n\| < \epsilon \]
poiché la successione delle somme parziali delle norme è di Cauchy in \( \mathbb{R} \).

Ma allora per il medesimo $N$ e per ogni \( M \in \mathbb{N} \) si ha

\[ \Biggl \| \sum_{n=1}^{N+M} x_n - \sum_{n=1}^N x_n \Biggr \| = \Biggl \| \sum_{n=N+1}^{N+M} x_n \Biggr \| \le \sum_{n=N+1}^{N+M} \|x_n\| < \epsilon \]

cioè che \( \bigl \{ \sum_{k=1}^n x_k \bigr \}_{n \in \mathbb{N}} \) è di Cauchy in \( \mathcal{B} \) ergo converge.

Come al solito comunque si vede che hai capito quale fosse l'idea della dimostrazione.

Posso chiederti cosa studi?

[Lèo114]

Ok, grazie mille. Ci mancherebbe, scrivo sul forum apposta per farmi fare le pulci. Comunque, studio fisica.

[Bremen000]

Be' allora hai tutto il mio apprezzamento per come stai approfondendo questi argomenti!

[Lèo114]

Grazie! Spero solo di migliorare, piano piano