Esercizi su distanza in spazi di Banach
E' il periodo dell'analisi funzionale e misura complessa.
Avrò un sacco di cose da chiedere visto che ho iniziato a studiarla da poco e questo è un mese dove giustamente i prof vanno in vacanza
Dovrei risolvere questo esercizio.
Es. Siano $ X $ uno spazio di Banach su $ \mathbb{K} (=\mathbb{R}\text{ o }\mathbb{C}) $, $ Y\subseteqX $ un sottospazio chiuso , $ x\inX $.
E' vero che esiste $ y_x\inY $ tale che $ \norm{x-y_x}_X=dist(x,Y) $ dove $ dist(x,Y)=\text{inf}\{\norm{x-y}_X :y\inY \} $?
Sicuramente se lo spazio X fosse solo metrico sarebbe falso. Basta prendere $ X=(-1,0]\cup(0,1] $, $ Y=(0,1] $ che è chiuso in X, $ x=-1 $ e vedere che $ \text{inf}\{|y+1| :y\in(0,1] \}=1 $ ma $ |y+1|\ne 1\qquad\forally\in(0,1] $ ma mi da l'idea che valga negli spazi di Banach.
Avrò un sacco di cose da chiedere visto che ho iniziato a studiarla da poco e questo è un mese dove giustamente i prof vanno in vacanza
Dovrei risolvere questo esercizio.
Es. Siano $ X $ uno spazio di Banach su $ \mathbb{K} (=\mathbb{R}\text{ o }\mathbb{C}) $, $ Y\subseteqX $ un sottospazio chiuso , $ x\inX $.
E' vero che esiste $ y_x\inY $ tale che $ \norm{x-y_x}_X=dist(x,Y) $ dove $ dist(x,Y)=\text{inf}\{\norm{x-y}_X :y\inY \} $?
Sicuramente se lo spazio X fosse solo metrico sarebbe falso. Basta prendere $ X=(-1,0]\cup(0,1] $, $ Y=(0,1] $ che è chiuso in X, $ x=-1 $ e vedere che $ \text{inf}\{|y+1| :y\in(0,1] \}=1 $ ma $ |y+1|\ne 1\qquad\forally\in(0,1] $ ma mi da l'idea che valga negli spazi di Banach.
Risposte
E' il teorema della proiezione (versione su sottospazi, puoi proiettare anche su convessi chiusi), vero per gli spazi di Hilbert. Lo puoi fare sui Banach (esistenza solo penso) se hai un Banach riflessivo (ipotesi per avere la compattezza debole delle palle chiuse, credo ti serva per la dimostrazione).
Grazie Luca.
Sono andato a riprendermi gli appunti del corso precedente. E' esattamente come dici tu. Se ho uno spazio normato riflessivo X e un chiuso convesso C di X, \( x\in X \) allora esiste \( y_x\in C \) tale che \( ||x-y_x||_X=dist(x,C) \) .
Quindi siccome ora ho solo uno spazio di Banach potrebbe non bastare per dimostrare la tesi. Bisognerebbe pensare ad un controesempio visto che ora l'asserzione ha buone probabilità di essere falsa
Sono andato a riprendermi gli appunti del corso precedente. E' esattamente come dici tu. Se ho uno spazio normato riflessivo X e un chiuso convesso C di X, \( x\in X \) allora esiste \( y_x\in C \) tale che \( ||x-y_x||_X=dist(x,C) \) .
Quindi siccome ora ho solo uno spazio di Banach potrebbe non bastare per dimostrare la tesi. Bisognerebbe pensare ad un controesempio visto che ora l'asserzione ha buone probabilità di essere falsa
Boh, prova a pensare qualcosa in $L^1$ o in $L^\infty$, oppure negli $l^p$ rispettivi...
Grazie! Provo a cercare un controesempio
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