Esercizi iniziali analisi complessa

[alfiere15]

Buon pomeriggio. Sto iniziando lo studio di Analisi Complessa.
Mi sono stati dati i seguenti due esercizi:
1) Mostrare che $\int_0^1 e^(tz) dt = f(z)$
2) Determinare tutte le funzioni $f$ olomorfe in $CC$ tali che $f' = f$.
Per il primo, avevo pensato a qualche cambiamento di variabile, ma non penso sia corretto.
Per il secondo, ho pensato di risolvere l'equazione differenziale, che mi restituiva l'esponenziale e la funzione nulla. Ma è lo stesso risultato che otterrei con l'Analisi classica reale. Non so se sia corretto...

[gugo82]

In 1), l’integrale si calcola “a mano”.

In 2), perché ti aspetti che in $CC$ le cose cambino?


P.S.: A che punto della teoria sei? Hai studiato le serie di potenze in campo complesso? E il prolungamento analitico?

[alfiere15]

1) $\int_0^1 e^(tz)dt = 1/z [e^(tz)]_0^1 = 1/z [ e^z -1]$... come arrivo a $f(z)$?

2) L'esercizio è stato proposto dalla mia professoressa ai primi rudimenti di Analisi Complessa, dopo aver dato la definizione e le prime proprietà di olomorfia...

[gugo82]

"alfiere15":1) $\int_0^1 e^(tz)dt = 1/z [e^(tz)]_0^1 = 1/z [ e^z -1]$... come arrivo a $f(z)$?

Beh, la $f$ l'hai appena trovata: è il risultato dell'integrale.

"alfiere15":2) L'esercizio è stato proposto dalla mia professoressa ai primi rudimenti di Analisi Complessa, dopo aver dato la definizione e le prime proprietà di olomorfia...

Il fatto è che il secondo esercizio si può attaccare con diverse tecniche.
Quella più elementare è la seguente: porta tutto a primo membro e moltiplica la nuova uguaglianza membro a membro per $e^{-z}$; al primo membro riconosci la derivata di un prodotto e ricorda che le uniche funzioni intere con derivata nulla sono le costanti.