Esempio spazio di Sobolev $H^1_0[a,b]$
Buongiorno,dovrei trovare un esempio di $H^1_{0}[a,b]$, provando che è $={u(x): [a,b] \to R$ continua; $EE$ $u'$ q.o. in $[a,b]$, $u(t)=\int_{a}^{t} u'(s) ds$ $+u(a)$
avevo scelto $f(x)={(x,if 0<=x<=1),(-x+2,if 1
oppure ho sbagliato esempio??
altrimenti avevo pensato di prendere la funzione di Heaviside tra -1 e 1, la derivata è la delta di Dirac. non li prendo in generale perchè tra meno infinito e più infinito non sono $L^2 (RR)$.
Lo so che è un esempio semplice, ma ringrazio in anticipo chi mi aiuterà a capire meglio se ho fatto bene l'esempio.
avevo scelto $f(x)={(x,if 0<=x<=1),(-x+2,if 1
oppure ho sbagliato esempio??
altrimenti avevo pensato di prendere la funzione di Heaviside tra -1 e 1, la derivata è la delta di Dirac. non li prendo in generale perchè tra meno infinito e più infinito non sono $L^2 (RR)$.
Lo so che è un esempio semplice, ma ringrazio in anticipo chi mi aiuterà a capire meglio se ho fatto bene l'esempio.
Risposte
[xdom="Raptorista"]Sposto nella nuova sezione di Analisi Superiore.[/xdom]
si, forse la verifica che $f$ e' derivabile nel senso delle distribuzioni e la sua derivata e' quello che hai scritto va fatto ovunque, non solo in $3/2$... la Heaviside non va bene come hai detto, la sua derivata nel senso delle distribuzioni non e' una funzione (per inciso, $H^1_0(a,b)$ si immerge con continuita' in $C^0(a,b)$ per cui necessariamente devi pensare alle funzioni continue).
Ok
devi dimostrare l'uguaglianza che hai scritto nella definizione che hai dato di $H^1_0(a,b)$ per tutti gli $x$... e' solo un conto.
Comunque, se basta un esempio, io prenderei la funzione identicamente nulla 
ma derivata della funzione identicamente nulla non è quasi ovunque. no?
per provarlo per ogni x basta fare??!?:
$u(t)-u(a)=\int_{a}^{t} u'(s) ds$
e$D(u(t)-u(a))=D(\int_{a}^{t} u'(s) ds)$
$u'(t)-u'(a)=u'(t)-u'(a)$?
o non è questo che intendevi @Luca_Lussardi?
per provarlo per ogni x basta fare??!?:
$u(t)-u(a)=\int_{a}^{t} u'(s) ds$
e$D(u(t)-u(a))=D(\int_{a}^{t} u'(s) ds)$
$u'(t)-u'(a)=u'(t)-u'(a)$?
o non è questo che intendevi @Luca_Lussardi?
si, la derivata di $f=0$ e' ovviamente $0$ per cui $f=0$ sta in $H^1_0(a,b)$, se ti basta un esempio la risposta di Rigel e' perfetta. Tornando al tuo devi far vedere che $f(t)-f(a)=\int_a^t f'(s)ds$ per ogni $t \in [a,b]$, metti dentro le espressioni e verificalo...
ma nel mio caso sostituendo , $t$ sta nell'intervallo $[0,1]$ o $]1,2]$?
se $t in [0,1]$ abbiamo $t=\int_{0}^{t} 1 ds + 0$
$t=t$ verificato
se $t in ]1,2]$ abbiamo $-t+2=\int_{0}^{1} 1 ds+\int_{1}^{t} -1 ds+0$
$-t+2=1-(t-1)+)$
$-t+2=-t+2$ verificato. va bene cosi?
se $t in [0,1]$ abbiamo $t=\int_{0}^{t} 1 ds + 0$
$t=t$ verificato
se $t in ]1,2]$ abbiamo $-t+2=\int_{0}^{1} 1 ds+\int_{1}^{t} -1 ds+0$
$-t+2=1-(t-1)+)$
$-t+2=-t+2$ verificato. va bene cosi?
si.
grazie! buona domenica!
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