Esempio integrale senx/x

[saviodp7]

Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con questo esempio che mi è stato mostrato in aula, scrivo per intero il testo sperando che gli appunti presi siano accurati.

$int_{-infty}^{infty}(senx)/xdx$

$f(z)=(senx)/x=(e^(ix)-e^(-ix))/(2ix)$

$int_{-infty}^{infty}(e^(ix)-e^(-ix))/(2ix)=1/(2i)[int_{-infty}^{infty}e^(ix)/xdx-int_{-infty}^{infty}e^(-ix)/xdx]$

$Res(e^(ix)/x,0)=lim_{z \to 0} e^(ix)=1 rArr int_{-infty}^{infty}e^(ix)/xdx=pii$

$Res(e^(-ix)/x,0)=lim_{z \to 0} e^(-ix)=1 rArr int_{-infty}^{infty}e^(-ix)/xdx=-pii$

$int_{-infty}^{infty}(senx)/xdx=(2pii)/(2i)=pi/2$ (dividiamo per due a causa del lemma di Jordan)

I passaggi che non mi sono chiari sono:

• $int_{-infty}^{infty}e^(-ix)/xdx=-pii \text( )$Perchè il risultato è negativo?

• $int_{-infty}^{infty}(senx)/xdx=pi/2\text( )$Secondo WolframAlpha il risultato corretto è $pi$

[ondine1]

$ int_(-oo)^(+oo) e^(-ix)/x dx = -ipi * (e^(-i*0))= -ipi $
per il lemma di Jordan, dato che stai integrando su una semicirconferenza capovolta, e la percorri in senso orario(da cui il segno meno).Inoltre poichè il polo è del primo ordine e si trova sul percorso di integrazione, compare un fattore $1/2$ (per cui non hai più che l'integrale è $2pi*i*sum_(i)Res(z_i) $ ma $pi*i*sum_(i)Res(z_i) $ ).
Poi sai che
$ int_(-oo)^(+oo) e^(ix)/x dx = +ipi * (e^(i*0))= ipi $
quindi in definitiva:
$ int_(-oo)^(+oo) 1/(2i)(e^(ix)- e^(-ix))/x dx = 1/(2i)*(ipi -(-ipi)) = 2ipi/(2i)=pi $

[saviodp7]

Grazie, credo di aver capito tutto, il risultato finale deve essere stato un errore di copia