Esempio funzione non misurabile e misurabilità della funzione di Dirichlet
Mostrare che prese $f,g:[0,1]->RR$ con $f=X_V$ e $g=X_(QQ)$ si ha che $f$ non è misurabile mentre $g$ è misurabile (con $V$ l'insieme di Cantor-Vitali e $X_A={(1,if x inA),(0,if xnotinA):}$ )
Per vedere che $f$ non è misurabile ci basta osservare che $f^-1(1/2,3/2)=V$ ma l'insieme di Cantor-Vitali non è misurabile per cui $f$ non può essere misurabile.
Per mostrare che $g$ misurabile ci basta mostrare che $g^-1[c,+infty]$ è misurabile $AAcin[-infty,+infty]$. Osserviamo che se $c>1$ allora $g^-1[c,+infty]=∅$ che è misurabile, se $0
Va bene?
Per vedere che $f$ non è misurabile ci basta osservare che $f^-1(1/2,3/2)=V$ ma l'insieme di Cantor-Vitali non è misurabile per cui $f$ non può essere misurabile.
Per mostrare che $g$ misurabile ci basta mostrare che $g^-1[c,+infty]$ è misurabile $AAcin[-infty,+infty]$. Osserviamo che se $c>1$ allora $g^-1[c,+infty]=∅$ che è misurabile, se $0
Va bene?
Risposte
Cosa intendi con l'insieme di Cantor-Vitali?
"otta96":
Cosa intendi con l'insieme di Cantor-Vitali?
$V={v_A|AinRR//QQ}$ con $v_Ain[0,1[$ (per l'assioma della scelta posso scegliere in ogni $AinRR//QQ$ uno e un solo $v_Ain[0,1[$)
Lo avevo sempre visto chiamare solo di Vitali, allora funziona.
"otta96":
Lo avevo sempre visto chiamare solo di Vitali, allora funziona.
Ok, se invece volessi calcolare l'integrale di $g$, ovvero della funzione di Dirichlet, siccome questa è non negativa e a gradini posso usare la formula $\int_{[0,1]}g=L^1(QQ)=0$ giusto?
Si certo.
"otta96":
Si certo.
Grazie
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