Ergodicità del prodotto di due rotazioni ergodiche
Non capisco come risolvere l' "esercizio extra" nelle soluzioni di un esercizio:
Dimostra che l'ergodicitià non è preservata sotto il prodotto diretto trovando una coppia di sistemi ergodici \( (X,B_X, \mu, T) \) e \( (Y, A_Y, \nu, S) \) tale che \( T \times S \) non è ergodico rispetto alla misura prodotto \( \mu \times \nu \).
Soluzioni:
Sia \( X=Y= \mathbb{T} \) il toro, \(B_X,B_Y \) la \(\sigma\)-algebra di Borel, \( \mu=\nu=m_{\mathbb{T}} \) la misura di Lebesgue sul toro. Poniamo allora \(T=S=R_{\alpha} \) la rotazione ergodica, i.e. \(R_{\alpha} : x \mapsto x+\alpha \) per qualche \( \alpha \) irrazionale. Allora
\[ (\mathbb{T}^2 , B_{\mathbb{T}^2}, m_{\mathbb{T}^2}, R_{\alpha} \times R_{\alpha} ) \]
non è un sistema ergodico. Per dimostrarlo troviamo una funzione che è strettamente \((R_{\alpha} \times R_{\alpha})\)-invariante ma che non è costante su un insieme di misura non nulla. Definiamo \( f(x,y) = x-y \) per ogni \((x,y) \in \mathbb{T}^2 \), abbiamo che
\[ f \circ (R_{\alpha} \times R_{\alpha})(x,y)=x-y=f(x,y)\]
Esercizio extra: Trovare qual è la condizione aritmetica su \( \alpha \) e \( \beta \) in modo tale che il prodotto di due rotazioni ergodiche \( R_{\alpha} \times R_{\beta} \) è ergodico.
Io credo che basti dire che \( \alpha \neq \beta \) perché poi \(f\) non è \((R_{\alpha} \times R_{\beta})\)-invariante, però non so come escludere una potenziale altra funzione \(f\) che è \((R_{\alpha} \times R_{\beta})\)-invariante e non costante. Infatti un sistema \( (X,B_X, \mu, T) \) è ergodico se e solo se ogni funzione \(T\)-invariante è una costante quasi ovunque.
Dimostra che l'ergodicitià non è preservata sotto il prodotto diretto trovando una coppia di sistemi ergodici \( (X,B_X, \mu, T) \) e \( (Y, A_Y, \nu, S) \) tale che \( T \times S \) non è ergodico rispetto alla misura prodotto \( \mu \times \nu \).
Soluzioni:
Sia \( X=Y= \mathbb{T} \) il toro, \(B_X,B_Y \) la \(\sigma\)-algebra di Borel, \( \mu=\nu=m_{\mathbb{T}} \) la misura di Lebesgue sul toro. Poniamo allora \(T=S=R_{\alpha} \) la rotazione ergodica, i.e. \(R_{\alpha} : x \mapsto x+\alpha \) per qualche \( \alpha \) irrazionale. Allora
\[ (\mathbb{T}^2 , B_{\mathbb{T}^2}, m_{\mathbb{T}^2}, R_{\alpha} \times R_{\alpha} ) \]
non è un sistema ergodico. Per dimostrarlo troviamo una funzione che è strettamente \((R_{\alpha} \times R_{\alpha})\)-invariante ma che non è costante su un insieme di misura non nulla. Definiamo \( f(x,y) = x-y \) per ogni \((x,y) \in \mathbb{T}^2 \), abbiamo che
\[ f \circ (R_{\alpha} \times R_{\alpha})(x,y)=x-y=f(x,y)\]
Esercizio extra: Trovare qual è la condizione aritmetica su \( \alpha \) e \( \beta \) in modo tale che il prodotto di due rotazioni ergodiche \( R_{\alpha} \times R_{\beta} \) è ergodico.
Io credo che basti dire che \( \alpha \neq \beta \) perché poi \(f\) non è \((R_{\alpha} \times R_{\beta})\)-invariante, però non so come escludere una potenziale altra funzione \(f\) che è \((R_{\alpha} \times R_{\beta})\)-invariante e non costante. Infatti un sistema \( (X,B_X, \mu, T) \) è ergodico se e solo se ogni funzione \(T\)-invariante è una costante quasi ovunque.
Risposte
In poche parole è facile vedere che \( \alpha \neq \beta \) è condizione necessaria per far si che \( R_{\alpha} \times R_{\beta} \) sia ergodico ma non so se sia pure sufficiente
Devi dare un bel po' di definizioni prima che qualcuno ti possa rispondere. Non tutti sanno cosa significhi "ergodico", "rotazione ergodica", "funzione invariante", "sistema ergodico".
Definizione Trasformazione che preserva la misura
Dato uno spazio di probabilità \( (X,B_X,\mu) \) una mappa \(T:X\to X \) preserva la misura se per ogni \(B \in B_X \) abbiamo che \(T^{-1}B \in B_X \) e \( \mu(T^{-1} B)=\mu(B) \).
Definizione Sistema che preserva la misura
È una quadrupla \((X,B_X,\mu,T)\) dove \( (X,B_X,\mu) \) è uno spazio di probabilità e \(T\) è una trasformazione che preserva la misura.
Definizione Sistema ergodico
Un sistema che preserva la misura \((X,B_X,\mu,T)\) è detto ergodico se per ogni \(B \in B_X \)
\[ T^{-1} B = B \Rightarrow \mu(B) = 0 \text{ oppure } \mu(B)=1 \]
Definizione Insieme \(T\)-invariante
Dato un sistema che preserva la misura, un insieme \(B \in B_X \) è detto strettamente invariante se \(T^{-1} B = B \)
Definizione Funzione \(T\)-invariante
Dato un sistema che preserva la misura, una funzione \(f: X \to \mathbb{C} \) è detta strettamente invariante se \(f(T x) = f(x) \) per ogni \(x \in X \).
Definizione rotazione ergodica
Sia \(X=[0,1] \), \(B_X\) la \( \sigma\)-algebra di Borel e \( \mu \) la misura di Lebesgue. Dato un qualunque \( \alpha \in \mathbb{R} \) abbiamo che la rotazione ergodica è definita da \(R_{\alpha} : X \to X \) data \( R_{\alpha} x = x + \alpha \mod 1 \). Abbiamo che \(R_{\alpha} \) è una mappa che preserva la misura, e quindi \( (X,B_X, \mu , R_{\alpha} ) \) è un sistema che preserva la misura (in effetti è pure un sistema ergodico)
Più in generale dato il gruppo compatto \( \mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) si può identificarlo quasi ovunque con \(X=[0,1] \) e prendere la misura di Lebesgue su \([0,1] \) che viene identificata con la misura di Haar su \( \mathbb{T} \), allora la rotazione ergodica diventa \(R_{\overline{\alpha}} = x + \overline{\alpha} \) dove \( \overline{\alpha} = \alpha + \mathbb{Z} \in \mathbb{T} \).
Il motivo per cui si chiama rotazione è poiché il gruppo \( \mathbb{T} \) è isometricamente isomorfo al cerchio \(S^1 \subseteq \mathbb{C} \) visto come gruppo sotto la moltiplicazione e la mappa \(R_{\alpha} \) viene identificata alla rotazione \( r_{\theta} : z \mapsto \theta z \) dove \( \theta = e^{ 2 \pi i \alpha} \in S^1 \).
Ergodico significa intuitivamente che se un insieme \(B\) ha misura 1/2 allora uno si aspetta che asintoticamente per la metà degli \(n \in \mathbb{N} \) abbiamo che \(T^n x \in B \) per ogni \(x \in X \). O più "fisicamente" che il tempo speso in una certa regione dello spazio è proporzionale al volume della regione (dall'ipotesi ergodica in termodinamica)
Dato uno spazio di probabilità \( (X,B_X,\mu) \) una mappa \(T:X\to X \) preserva la misura se per ogni \(B \in B_X \) abbiamo che \(T^{-1}B \in B_X \) e \( \mu(T^{-1} B)=\mu(B) \).
Definizione Sistema che preserva la misura
È una quadrupla \((X,B_X,\mu,T)\) dove \( (X,B_X,\mu) \) è uno spazio di probabilità e \(T\) è una trasformazione che preserva la misura.
Definizione Sistema ergodico
Un sistema che preserva la misura \((X,B_X,\mu,T)\) è detto ergodico se per ogni \(B \in B_X \)
\[ T^{-1} B = B \Rightarrow \mu(B) = 0 \text{ oppure } \mu(B)=1 \]
Definizione Insieme \(T\)-invariante
Dato un sistema che preserva la misura, un insieme \(B \in B_X \) è detto strettamente invariante se \(T^{-1} B = B \)
Definizione Funzione \(T\)-invariante
Dato un sistema che preserva la misura, una funzione \(f: X \to \mathbb{C} \) è detta strettamente invariante se \(f(T x) = f(x) \) per ogni \(x \in X \).
Definizione rotazione ergodica
Sia \(X=[0,1] \), \(B_X\) la \( \sigma\)-algebra di Borel e \( \mu \) la misura di Lebesgue. Dato un qualunque \( \alpha \in \mathbb{R} \) abbiamo che la rotazione ergodica è definita da \(R_{\alpha} : X \to X \) data \( R_{\alpha} x = x + \alpha \mod 1 \). Abbiamo che \(R_{\alpha} \) è una mappa che preserva la misura, e quindi \( (X,B_X, \mu , R_{\alpha} ) \) è un sistema che preserva la misura (in effetti è pure un sistema ergodico)
Più in generale dato il gruppo compatto \( \mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) si può identificarlo quasi ovunque con \(X=[0,1] \) e prendere la misura di Lebesgue su \([0,1] \) che viene identificata con la misura di Haar su \( \mathbb{T} \), allora la rotazione ergodica diventa \(R_{\overline{\alpha}} = x + \overline{\alpha} \) dove \( \overline{\alpha} = \alpha + \mathbb{Z} \in \mathbb{T} \).
Il motivo per cui si chiama rotazione è poiché il gruppo \( \mathbb{T} \) è isometricamente isomorfo al cerchio \(S^1 \subseteq \mathbb{C} \) visto come gruppo sotto la moltiplicazione e la mappa \(R_{\alpha} \) viene identificata alla rotazione \( r_{\theta} : z \mapsto \theta z \) dove \( \theta = e^{ 2 \pi i \alpha} \in S^1 \).
Ergodico significa intuitivamente che se un insieme \(B\) ha misura 1/2 allora uno si aspetta che asintoticamente per la metà degli \(n \in \mathbb{N} \) abbiamo che \(T^n x \in B \) per ogni \(x \in X \). O più "fisicamente" che il tempo speso in una certa regione dello spazio è proporzionale al volume della regione (dall'ipotesi ergodica in termodinamica)
Ottimo lavoro! Io a intuito starei attento al caso in cui \(\alpha\) e \(\beta\) sono commensurabili (il loro rapporto è un numero razionale). Ad esempio, la rotazione \(R_\alpha \times R_{2\alpha}\) è ergodica?
Tra l'altro sicuramente hai ragione che debbano essere non commensurabili perché ad esempio se prendiamo \( f(x,y)= qx+py \) allora è chiaramente \( R_{p\alpha} \times R_{-q\alpha} \)-invariante e non costante, infatti \[ f \circ R_{p\alpha} \times R_{-q\alpha} (x,y) = f(x+p\alpha, y-q\alpha) = qx + pq \alpha + py - pq \alpha = qx+py = f(x,y) \]
quindi hai ragione te è necessario chiedere che non siano commensurabili ma è sufficiente? Non lo vedo e non capisco come poterlo dimostrare. Ma a sto punto \(p,q \) potrebbero essere anche numeri irrazionali no?
Il fatto è che \(f\) potrebbe essere "qualunque" cosa a priori.
quindi hai ragione te è necessario chiedere che non siano commensurabili ma è sufficiente? Non lo vedo e non capisco come poterlo dimostrare. Ma a sto punto \(p,q \) potrebbero essere anche numeri irrazionali no?
Il fatto è che \(f\) potrebbe essere "qualunque" cosa a priori.
(Intanto puoi sempre assumere \(\beta=1\), forse ti semplifica la vita)
Non lo so, ma a naso basta che siano incommensurabili e da qualche parte nel tuo esempio devi usare che \(p,q\) sono razionali. Dove? Non lo so.
Non lo so, ma a naso basta che siano incommensurabili e da qualche parte nel tuo esempio devi usare che \(p,q\) sono razionali. Dove? Non lo so.
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