Equivalenza norme
Se io ho un vettore con infiniti elementi, ma numerabili (dunque ha senso parlare della prima componente, della seconda, della terza, ecc...) praticamente mi trovo nello spazio $\RR^{\infty}$ (con un infinito numerabile però). In questo spazio le norme sono equivalenti ? A me verrebbe da dire di sì (ma dico a sentimento anche perché non ho neanche mai dimostrato che le norme sono equivalenti in $\RR^n$).
Grazie
Ric
Grazie
Ric
Risposte
Non credo proprio.
D’altra parte, lo spazio delle successioni $s := RR^NN$ è un oggetto troppo grande per essere davvero utile. Di solito se ne usano sottospazi (vettoriali) tipo $c_(00)$ (successioni definitivamente nulle), $l^p$ con $1<= p < oo$ (successioni a potenza $p$-esima sommabile), $c_0$ (successioni infinitesime) o $l^oo$ (successioni limitate).
E su tali sottospazi succedono cose strane. Ad esempio, $c_0$ è completo rispetto alla norma del massimo \(\| \mathbf{x} \|_{\infty} := \max |x_n|\), ma non lo è rispetto alla norma d’ordine $p$ (con $1 <= p < oo$) \( \|\mathbf{x}\|_{p} := \left( \sum_n |x_n|^p\right)^{1/p}\); dunque le due norme non sono equivalenti.
D’altra parte, lo spazio delle successioni $s := RR^NN$ è un oggetto troppo grande per essere davvero utile. Di solito se ne usano sottospazi (vettoriali) tipo $c_(00)$ (successioni definitivamente nulle), $l^p$ con $1<= p < oo$ (successioni a potenza $p$-esima sommabile), $c_0$ (successioni infinitesime) o $l^oo$ (successioni limitate).
E su tali sottospazi succedono cose strane. Ad esempio, $c_0$ è completo rispetto alla norma del massimo \(\| \mathbf{x} \|_{\infty} := \max |x_n|\), ma non lo è rispetto alla norma d’ordine $p$ (con $1 <= p < oo$) \( \|\mathbf{x}\|_{p} := \left( \sum_n |x_n|^p\right)^{1/p}\); dunque le due norme non sono equivalenti.
Grazie per la risposta! Sto preparando un esame e in quel momento avevo il momento "crisi" in cui non capivo più nulla...
Grazie per il chiaro esempio.
Grazie per il chiaro esempio.
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