Equicontinuità in $mathbb{C}$

[Dobrogost]

Ciao a tutti, volevo chiedervi una mano per questo esercizio:

Sia $D$ il disco unitario in $mathbb{C}$. Dire se le seguenti famiglie sono equicontinue o meno in $C(D)$:
a) $f_a = {e^{iaz}, a \in \mathbb{R}}$
b) $f_a = {e^{i \frac{z}{a}}, a \in \mathbb{R}}$
c) $f_a = {e^{iaz}, a \in \mathbb{R}, |a|<1}$
d) $f_a = {e^{iaz}, a \in \mathbb{R}, |a|>1}$

Per adesso io ho pensato a questo:

La prima famiglia sicuramente non è equicontinua. Infatti consideriamo la sottofamiglia: $f_n = {e^{imz}, m \in \mathbb{N}}$ e la successione $\lambda_m= \frac{\pi}{m}$. Allora in $z=0$: $|e^{im\lambda_m}-1|=2, \forall m$. Lo stesso mi porta a dire che la terza famiglia non è equicontinua. Anche la seconda non è equicontinua, perchè posso ripetere il ragionamento con $a=\frac{1}{m}$. E' corretto? Infine, mi verrebbe da dire che la quarta famiglia è equicontinua (e a dire il vero credo lo sia ogni famiglia con a limitato). Ma è così? E soprattutto, come lo dimostro?

[dissonance]

È chiaro che se permetti ad \(a\) di variare in modo non limitato la famiglia non sarà equicontinua, perché valori grandi di \(a\) corrispondono a forti oscillazioni. Di converso, se \(a\) è limitato le oscillazioni sono globalmente limitate e la famiglia è equicontinua. Quest'ultimo fatto si dovrebbe poter provare facilmente osservando che \(|\frac{d}{dz} e^{iaz} | \le |a| e^{|a|}\), quindi la famiglia ha la derivata equilimitata.