Equazioni Variazionali e Elemento Neutro Equazioni E-L?
Salve,oggi,pensando un po mi sono posto una domanda:
Esistono,equazione,che invece di presentare derivate,presentano variazioni,nel senso
invece di
\( y(x)dy+(y(x)-x)dx=0 \)
avere
\( \ f(y[x],x]) \delta y[x]+y[x]=x(t) \)
dove
\( y[x]=\int L(t,x,x')dt \) ,
\( \delta y[x] \) sarebbe la variazione prima di $y[x]$
e
$f(y[x],x)$ è una funzione nota
?
E se esistono come si dimostra esistenza,unicità,regolarità della soluzione?
E quest'ultima come si calcola(se possibile) esplicitamente ?
Se non vi reca disturbo potreste rispondere alle domande che prima ho scritto,oppure mi sapreste consigliare qualche testo che ne tratti?
Poichè so che trattare il caso generale è sempre molto complicato,pensavo di partire da questo caso base(in questo esempio non sono presenti le variazioni,bensì il primo membro delle equazioni di E-L,per quanto riguarda il caso di sopra,penso che si possa trattare come un'equazione di Bernoulli,confermate?):
\( {\frac{\partial y}{\partial x}}=y \)
che ovviamente si puo trasformare in
\( L_x-L_{\dot{x}t}=\int Ldt \)
(inutile dire che trovare la soluzione di questa equazione non sia proprio facile)
Quindi per risolverla pensavo di ragionare,cercando il "funzionale neutro"(per intenderci l'analogia è con la funzione esponenziale)e procedere in modo simile alle equazioni differenziali.
Esistono,equazione,che invece di presentare derivate,presentano variazioni,nel senso
invece di
\( y(x)dy+(y(x)-x)dx=0 \)
avere
\( \ f(y[x],x]) \delta y[x]+y[x]=x(t) \)
dove
\( y[x]=\int L(t,x,x')dt \) ,
\( \delta y[x] \) sarebbe la variazione prima di $y[x]$
e
$f(y[x],x)$ è una funzione nota
?
E se esistono come si dimostra esistenza,unicità,regolarità della soluzione?
E quest'ultima come si calcola(se possibile) esplicitamente ?
Se non vi reca disturbo potreste rispondere alle domande che prima ho scritto,oppure mi sapreste consigliare qualche testo che ne tratti?
Poichè so che trattare il caso generale è sempre molto complicato,pensavo di partire da questo caso base(in questo esempio non sono presenti le variazioni,bensì il primo membro delle equazioni di E-L,per quanto riguarda il caso di sopra,penso che si possa trattare come un'equazione di Bernoulli,confermate?):
\( {\frac{\partial y}{\partial x}}=y \)
che ovviamente si puo trasformare in
\( L_x-L_{\dot{x}t}=\int Ldt \)
(inutile dire che trovare la soluzione di questa equazione non sia proprio facile)
Quindi per risolverla pensavo di ragionare,cercando il "funzionale neutro"(per intenderci l'analogia è con la funzione esponenziale)e procedere in modo simile alle equazioni differenziali.
Risposte
Secondo me è meglio se lasci perdere. Non ho mai visto niente del genere e non mi sembrano domande che portano da qualche parte.
Grazie,per la risposta,forse hai ragione,però per sapere,esiste un funzionale che sia uguale al primo membro dell'equazione di Eulero Lagrange ad essa corrispondente?
"mklplo":
Grazie,per la risposta,forse hai ragione,però per sapere,esiste un funzionale che sia uguale al primo membro dell'equazione di Eulero Lagrange ad essa corrispondente?
Non ho mai sentito di niente del genere. A mio avviso, non si possono comparare queste due cose (funzionali e variazioni prime), sono due oggetti completamente diversi. Lascia stare la funzione esponenziale, che è un "miracolo" dovuto alla dimensione 1.
Ma funzionali e variazioni non sono come integrali e differenziali?
In che senso la funzione esponenziale è un "miracolo" dovuto alla dimensione 1?
In che senso la funzione esponenziale è un "miracolo" dovuto alla dimensione 1?
"mklplo":
Ma funzionali e variazioni non sono come integrali e differenziali?
Si, ma il giusto linguaggio per parlare di queste cose è il calcolo differenziale negli spazi di Banach. E per conoscere quello, prima devi conoscere il calcolo differenziale su $RR^n$.
[ot]Cercare di capire bene il calcolo differenziale su $RR$, studiando *sui libri* e non sulle dispensine rimediate qua e là in rete, potrebbe essere un progetto valido per te. Certamente molto meglio di queste astrusità con cui ti sei fissato.
IMHO[/ot]
In che senso la funzione esponenziale è un "miracolo" dovuto alla dimensione 1?
In un senso che capirai da solo quando studierai le generalizzazioni della funzione esponenziale, che sono una miriade: ce ne sono nella teoria delle equazioni differenziali ordinarie, in algebra lineare, in geometria Riemanniana, nei gruppi di Lie... Chiaramente tutte queste nozioni sono connesse. In ogni caso, il miracolo è che l'equazione $(e^x)'=e^x$ vale solo in dimensione $1$. In tutte le altre realizzazioni della funzione esponenziale, quell'equazione va modificata un poco. E queste modifiche sono sufficienti a rendere impossibile il tuo progetto di trovare un "elemento neutro" della differenziazione.
Grazie per aver risposto,
Per quanto riguarda il primo punto,penso che tu abbia ragione,proverò a procedere come mi hai consigliato.
Per quanto riguardo il secondo punto,un di questi problemi sarebbe causato dal fatto che
\( \frac{d(e^{G(x,y(x),y'(x))})}{dx}\not=e^{G(x,y(x),y'(x))} \) ?
Per quanto riguarda il primo punto,penso che tu abbia ragione,proverò a procedere come mi hai consigliato.
Per quanto riguardo il secondo punto,un di questi problemi sarebbe causato dal fatto che
\( \frac{d(e^{G(x,y(x),y'(x))})}{dx}\not=e^{G(x,y(x),y'(x))} \) ?
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