Equazione integrale
Salve,per favore,qualcuno potrebbe spiegarmi come risolvere questa equazione di Frendholm :
$ y(x)=x+int_(0)^(2pi) y(t)e^(-t+x)sin(t+x)cos(t+x) dt $
p.s:questa è la prima equazione integrale che devo risolvere,quindi non avendo esperienza.
$ y(x)=x+int_(0)^(2pi) y(t)e^(-t+x)sin(t+x)cos(t+x) dt $
p.s:questa è la prima equazione integrale che devo risolvere,quindi non avendo esperienza.
Risposte
Beh, non mi pare sia un'equazione integrale... Semplicemente perché al secondo membro non c'è l'incognita.
Tutto ciò che devi fare per trovare la $y$ è calcolare esplicitamente l'integrale al secondo membro.
P.S.: Si scrive Fredholm, senza la enne.
Tutto ciò che devi fare per trovare la $y$ è calcolare esplicitamente l'integrale al secondo membro.
P.S.: Si scrive Fredholm, senza la enne.
ah...grazie
Vedo che hai corretto il testo del problema... Ora, scriviti meglio il secondo membro e cerca di capire se la soluzione della equazione è più regolare di quanto appaia. Se lo è, prova a trasformare l'equazione integrale in una equazione differenziale.
il vero problema è proprio questo,in quanto io non abbia ancora capito come fare questo passaggio
Innanzitutto, come ho detto sopra, cerca di scrivere meglio l'integrale al secondo membro...
Usando le formule di duplicazione e di addizione trovi:
\[
\begin{split}
\int_0^{2\pi} y(t)\ \mathbf{e}^{-t+x}\sin (t+x)\ \cos(t+x)\ \text{d} t &= \frac{1}{2}\ \mathbf{e}^x\ \int_0^{2\pi} y(t)\ \mathbf{e}^{-t}\ \sin (2(t+x))\ \text{d} t\\
&= \frac{1}{2}\ \mathbf{e}^x\ \int_0^{2\pi} y(t)\ \mathbf{e}^{-t}\ \left[ \sin 2t\ \cos 2x + \cos 2t\ \sin 2x\right]\ \text{d} t\\
&= \frac{1}{2}\ \mathbf{e}^x\ \cos 2x\ \int_0^{2\pi} y(t)\ \mathbf{e}^{-t}\ \sin 2t\ \text{d} t + \frac{1}{2}\ \mathbf{e}^x\ \sin 2x\ \int_0^{2\pi} y(t)\ \mathbf{e}^{-t}\ \cos 2t\ \text{d} t\; ,
\end{split}
\]
quindi, posto:
\[
\begin{split}
A &:= \int_0^{2\pi} y(t)\ \mathbf{e}^{-t}\ \sin 2t\ \text{d} t\\
B &:= \int_0^{2\pi} y(t)\ \mathbf{e}^{-t}\ \cos 2t\ \text{d} t
\end{split}
\]
sai che la soluzione della EI è del tipo:
\[
y(x) = \frac{A}{2}\ \mathbf{e}^x\ \cos 2x + \frac{B}{2}\ \mathbf{e}^x\ \sin 2x\; .
\]
Per trovare la soluzione bisogna determinare $A$ e $B$ e, per fare ciò, bisogna sostituire $y$ nella EI e ricavare i valori delle costanti mediante un sistema lineare.
Usando le formule di duplicazione e di addizione trovi:
\[
\begin{split}
\int_0^{2\pi} y(t)\ \mathbf{e}^{-t+x}\sin (t+x)\ \cos(t+x)\ \text{d} t &= \frac{1}{2}\ \mathbf{e}^x\ \int_0^{2\pi} y(t)\ \mathbf{e}^{-t}\ \sin (2(t+x))\ \text{d} t\\
&= \frac{1}{2}\ \mathbf{e}^x\ \int_0^{2\pi} y(t)\ \mathbf{e}^{-t}\ \left[ \sin 2t\ \cos 2x + \cos 2t\ \sin 2x\right]\ \text{d} t\\
&= \frac{1}{2}\ \mathbf{e}^x\ \cos 2x\ \int_0^{2\pi} y(t)\ \mathbf{e}^{-t}\ \sin 2t\ \text{d} t + \frac{1}{2}\ \mathbf{e}^x\ \sin 2x\ \int_0^{2\pi} y(t)\ \mathbf{e}^{-t}\ \cos 2t\ \text{d} t\; ,
\end{split}
\]
quindi, posto:
\[
\begin{split}
A &:= \int_0^{2\pi} y(t)\ \mathbf{e}^{-t}\ \sin 2t\ \text{d} t\\
B &:= \int_0^{2\pi} y(t)\ \mathbf{e}^{-t}\ \cos 2t\ \text{d} t
\end{split}
\]
sai che la soluzione della EI è del tipo:
\[
y(x) = \frac{A}{2}\ \mathbf{e}^x\ \cos 2x + \frac{B}{2}\ \mathbf{e}^x\ \sin 2x\; .
\]
Per trovare la soluzione bisogna determinare $A$ e $B$ e, per fare ciò, bisogna sostituire $y$ nella EI e ricavare i valori delle costanti mediante un sistema lineare.
ti ringrazio,
in questo caso, l'integrale diventerebbe:
$ Acos(2x)+Bsin(x)=int_0^(2pi)A/2cos(2t)+B/2Sin(2t)dt $ ?
te lo chiedo perchè ho qualche dubbio su come esprimere la funzione $y(x)$ in funzione di $t$.
in questo caso, l'integrale diventerebbe:
$ Acos(2x)+Bsin(x)=int_0^(2pi)A/2cos(2t)+B/2Sin(2t)dt $ ?
te lo chiedo perchè ho qualche dubbio su come esprimere la funzione $y(x)$ in funzione di $t$.
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