Equazione differenziale con trasformata di Fourier

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Siano \(f \in \mathcal{C}^0 (\mathbb{R}) \cap L^1(\mathbb{R}) \) e \( \left| \widehat{f} \right| \in L^1(\mathbb{R}) \)
i) Trovare una soluzione formale \(u=u(x,t) \) del problema
\[
\left\{\begin{matrix}
u_t +u_{xxxx}+u =0 & \text{se} &x \in \mathbb{R}, t >0 \\
u(x,0)=f(x)& \text{con} & x \in \mathbb{R}
\end{matrix}\right.
\]

ii) Dimostra che la soluzione formale trovata in nella questione precedente converge uniformemente a \(f(x) \) quando \(t \to 0 \)

Io ho fatto così, va bene?
Edit typo: dimenticato degli \(i\) ad esponente!!
i)

Consideriamo \(t\) come un parametro e definiamo
Poniamo \[ v(\xi,t) = \mathcal{F}(u)(\xi,t) = \int_{\mathbb{R}} u(x,t)e^{-2\pi i \xi x} dx \]
Abbiamo allora che
\[ \mathcal{F}(u_{xxxx})(\xi,t) = \int_{\mathbb{R}} \frac{\partial^4}{\partial x^4}[u(x,t)e^{-2\pi i \xi x}] dx= (-2\pi i \xi)^4 \mathcal{F}(u)(\xi,t) = 16 \pi^4 \xi^4 v(\xi,t) \]

E
\[ v_t(\xi,t)=\int_{\mathbb{R}} u_t(x,t)e^{-2\pi i \xi x} dx = \mathcal{F}(u_t)(\xi,t) \]

Abbiamo dunque che il problema si trasforma, dove è \( \xi\) a giocare il ruolo di parametro, in un equazione differenziale ordinaria in \(t\)
\[
\left\{\begin{matrix}
v_t(\xi,t)=-16 \pi^4 \xi^4 v(\xi,t) & \text{se} & \xi \in \mathbb{R} t >0 \\
v(\xi,0)=\widehat{f}(\xi)& \text{con} & \xi \in \mathbb{R}
\end{matrix}\right.
\]

Dove \[ \widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-2\pi i \xi x} dx \]

Pertanto risolvendo l'equazione differenziale otteniamo che
\[ v(\xi,t) = \widehat{f}(\xi)e^{-16 \pi^4 \xi^4 t} \]
E dunque
\[ u(x,t) = \mathcal{F}^{-1}(v)(x,t) = \int_{\mathbb{R}} \widehat{f}(\xi)e^{-16 \pi^4 \xi^4 t}e^{2 \pi i \xi x} d\xi \]

Per ii) con tre domandine

Abbiamo che poiché \( f \in L^1(\mathbb{R}) \) e \( \left| \widehat{f} \right| \in L^1(\mathbb{R} ) \) allora
\[ f(x) = \int_{\mathbb{R}} \widehat{f}(\xi) e^{2\pi i \xi x} d\xi = \mathcal{F}^{-1}(f)(x)\]
quasi ovunque.
Inoltre poiché \( \left| \widehat{f} \right| \in L^1(\mathbb{R} ) \) abbiamo che \( \mathcal{F}^{-1}(f)(x) \) è continua, pertanto poiché \(f\) è continua coincidono ovunque.

- Domandina: Se \(f\) non fosse stata continua avremmo avuto convergenza uniforme quasi ovunque e non ovunque?
Dunque
\[ \left| u(x,t) - f(x) \right| \leq \int_{\mathbb{R}} \left| \widehat{f}(\xi) \right| \left| e^{-16\pi^4 \xi^4 t} - 1 \right| d\xi \]
Inoltre poiché \( \left| e^{-16\pi^4 \xi^4 t} - 1 \right| \leq 1\) otteniamo che
\[ \left| \widehat{f}(\xi) \right| \left| e^{-16\pi^4 \xi^4 t} - 1 \right| \leq \left| \widehat{f}(\xi) \right| \in L^1(\mathbb{R}) \]
Pertanto il teorema della convergenza dominata si applica poiché \( \left| \widehat{f}(\xi) \right| \left| e^{-16\pi^4 \xi^4 t} - 1 \right| \) sono misurabili, di più penso \(L^1\).
Pertanto, siccome \(\begin{Vmatrix} \widehat{f} \end{Vmatrix}_{L^1} < \infty \) otteniamo che
\[ \lim_{t \to 0} \left| u(x,t) - f(x) \right| \leq \int_{\mathbb{R}} \lim_{t \to 0} \left| \widehat{f}(\xi) \right| \left| e^{-16\pi^4 \xi^4 t} - 1 \right| d\xi = \begin{Vmatrix} \widehat{f} \end{Vmatrix}_{L^1} \lim_{t \to 0} \left| e^{-16\pi^4 \xi^4 t} - 1 \right| = 0 \]

Domandina: Se \(f\) appunto non fosse stata continua, avremmo avuto convergenza uniforme ad \(f\) quasi ovunque? Ma \(u\) sarebbe stata comunque continua?
Infatti, credo:
Sia \( (x_n,t_n) \to (x,t) \) allora
\[ \left| u(x,t) - u(x_n,t_n) \right| \leq \int_{\mathbb{R}} \left| \widehat{f}(\xi) \right| \left|e^{-16 \pi^4 \xi^4 t}e^{2 \pi i \xi x} - e^{-16 \pi^4 \xi^4 t_n}e^{2 \pi i \xi x_n} \right| d\xi \]
\[ \left| \widehat{f}(\xi) \right| \left|e^{-16 \pi^4 \xi^4 t}e^{2 \pi \xi x} - e^{-16 \pi^4 \xi^4 t_n}e^{2 \pi \xi x_n} \right| \leq \left| \widehat{f}(\xi) \right| \left( \left|e^{-16 \pi^4 \xi^4 t} \right| + \left| e^{-16 \pi^4 \xi^4 t_n} \right| \right) \leq 2 \widehat{f}(\xi) \in L^1 \]
E sempre per il teorema della convergenza dominata abbiamo che
\[ \lim_{n \to \infty} \left| u(x,t) - u(x_n,t_n) \right| \leq \int_{\mathbb{R}} \lim_{n \to \infty} \left| \widehat{f}(\xi) \right| \left|e^{-16 \pi^4 \xi^4 t}e^{2 \pi i \xi x} - e^{-16 \pi^4 \xi^4 t_n}e^{2 \pi i \xi x_n} \right| d\xi = 0 \]

Domandina E quindi siccome \( u(x,t) \to f(x) \) quando \(t \to 0 \) uniformemente quasi ovunque e poiché \( \mathcal{F}^{-1}(f)(x) \) è continua così come \(u(x,t) \) avremmo avuto che \( u(x,0)= \mathcal{F}^{-1}(f)(x) \) ovunque corretto?

[dissonance]

Ma l'equazione è \(u_t+u_{xxxx} +u=0\) oppure \(u_t+u_{xxxx}=0\)? La tua soluzione considera la seconda, mi pare. Ma nella traccia hai scritto la prima.

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Hai ragione, l'equazione è \(u_t + u_{xxxx} + u = 0 \) e mi sono perso via il \(u\) passando alla trasformata. Basta comunque aggiungere un \(+1\) ad esponente e non dovrebbe cambiare di molto il procedimento.