Equazione differenziale con Duhamel
Salve a tutti dovrei risolvere un' equazione diffferenziale con l'integrale di Duhamel, io ho studiato come fare in un esame di sismica, e credevo di aver capito, ma ora non riesco ad andare avanti, vorrei sapere sa qualcuno può aiutarmi a se può consigliarmi qualche sito o testo da consultare. vi ringrazio per l'attenzione
L'equazione è la seguente
$ (partial v(t))/(partial t) +lambda *v(t)=chi *(U(t)-Uc) $
Io ho fatto così:
$ v(t)=chi *int_(t0)^(t) (U(tau )-Uc)*( dbar(v)(t-tau))/dt d tau $
dove
$ bar(v)(t)=1/lambda *(1-e^(-lambda*t )) $
quindi:
$ v(t)=chi *int_(t0)^(t) (U(tau )-Uc)*e^(-lambda(t-tau )) d tau $
a questo punto, facendo l'integrale di un accelerazione, e calcolando il massimo dell'integrale, dovrei trovare la velocità, ma da qui qualsiasi passaggio mi viene in mente mi sembra sbagliato...
L'equazione è la seguente
$ (partial v(t))/(partial t) +lambda *v(t)=chi *(U(t)-Uc) $
Io ho fatto così:
$ v(t)=chi *int_(t0)^(t) (U(tau )-Uc)*( dbar(v)(t-tau))/dt d tau $
dove
$ bar(v)(t)=1/lambda *(1-e^(-lambda*t )) $
quindi:
$ v(t)=chi *int_(t0)^(t) (U(tau )-Uc)*e^(-lambda(t-tau )) d tau $
a questo punto, facendo l'integrale di un accelerazione, e calcolando il massimo dell'integrale, dovrei trovare la velocità, ma da qui qualsiasi passaggio mi viene in mente mi sembra sbagliato...
Risposte
Questa è una equazione differenziale ordinaria, lineare, del primo ordine. Ovvero, essa è
\[
f'=-\lambda f + g,\]
dove \(f=v(t)\) etc etc... La soluzione di questa equazione si ricava facilmente e poi basta sostituire. Ma forse non ho capito la domanda?
\[
f'=-\lambda f + g,\]
dove \(f=v(t)\) etc etc... La soluzione di questa equazione si ricava facilmente e poi basta sostituire. Ma forse non ho capito la domanda?
Grazie per la risposta.
Non sono molto ferrato nella risoluzione delle equazioni differenziali, quindi se scrivo qualche fesseria perdonatemi
Il problema che ho è che per la funzione v(t) non ho delle condizioni al contorno, questo perchè dipende da u(t), allora volevo usare Duhamel per questo motivo, v(t) varia asseconda di u(t), come se u fosse un impulso, v è una velocità di un corpo, il quale si muove ogni volta che u(t)-g > 0.
Vi ringrazio di nuovo per l'attenzione!
Non sono molto ferrato nella risoluzione delle equazioni differenziali, quindi se scrivo qualche fesseria perdonatemi

Il problema che ho è che per la funzione v(t) non ho delle condizioni al contorno, questo perchè dipende da u(t), allora volevo usare Duhamel per questo motivo, v(t) varia asseconda di u(t), come se u fosse un impulso, v è una velocità di un corpo, il quale si muove ogni volta che u(t)-g > 0.
Vi ringrazio di nuovo per l'attenzione!