Equazione differenziale alle derivate parziali a variabili separabili.
Buongiorno a tutti.
Mi trovo a dover affrontare questo problema (PDE da risolvere con il metodo della separazione delle variabili).
${ ( (partial^2 u)/(partial t^2)-(partial^2 u)/(partial x^2) =0 ),( u(x,0)=x(pi^2-x^2 )),( (partialu)/(partial t)(x,0)=3cos(3/2 x) ),( u(-pi,t)=u(pi,t)=0 ):}$
Con $x \in (-pi,pi)$ e $t\ge0$.
Ho iniziato a cercare le soluzioni nella forma:
$U(x,t)=X(x)T(t)$
Ed imponendo le condizioni al contorno fornite ottengo:
$U(-pi,t)=X(-pi)T(t)=0$
$U(pi,t)=X(pi)T(t)=0$
Ovviamente, per evitare la soluzione banale ($T(t)=0$), applicando la legge di annullamento del prodotto ottengo:
$X(-pi)=X(pi)=0$
Ora che ho trovato le condizioni di compatibilità con i dati del probema procedo formalmente alla separazione delle variabili, imponendo:
$X^{''}/X=T^{''}/T=lambda$
Dunque, ricollegandoci al risultato precedente:
${ ( X''-lambda X=0 ),( X(-pi)=X(pi)=0 ):}$
Ora assumo che questa equazione differenziale ammetta soluzione, per $lambda=-alpha^{2}<0$ (con $lambda$ definito in questo modo per avere più ordine nei passaggi):
$X(x)=acos(alpha x)+bsin(alpha x)$ con $a$ e $b$ $\in \mathbb R$ costanti da determinare.
Qui arrivano i problemi.
Applico le condizioni iniziali:
$X(pi)=acos(alpha pi)+bsin(alpha pi)=0$
$X(-pi)=acos(-alpha pi)+bsin(-alpha pi)=0$
Ora, l'unica soluzione possibile è $a=b=0$ per soddisfare entrambe le uguaglianze. Quindi questo caso non mi fornisce informazioni utili.
Mi restano da valutare i casi:
$lambda=alpha^{2}>0$
$\lambda=alpha^{2}=0$
Dalla teoria ho imparato che il caso $lambda=alpha^{2}>0$ di norma non fornisce una soluzione al problema.
Mi resta quindi l'ultimo caso:
$X(pi)=a+bpi=0$
$X(-pi)=a-bpi=0$
Che mi fornisce sempre $a=b=0$.
Proseguendo, anche la parte temporale ipotizzo avrà un aspetto del tutto simile essendo anch'essa espressa tramite una equazione differenziale del secondo ordine.
A qaunto pare non riesco ad uscirne con queste condizioni al contorno. Cosa ne pensate? Sto sbagliando/dimenticando qualcosa nel mio modo di ragionare? Un grazie a tutti quelli che spenderanno qualche minuto del loro tempo per aiutarmi.
.
Mi trovo a dover affrontare questo problema (PDE da risolvere con il metodo della separazione delle variabili).
${ ( (partial^2 u)/(partial t^2)-(partial^2 u)/(partial x^2) =0 ),( u(x,0)=x(pi^2-x^2 )),( (partialu)/(partial t)(x,0)=3cos(3/2 x) ),( u(-pi,t)=u(pi,t)=0 ):}$
Con $x \in (-pi,pi)$ e $t\ge0$.
Ho iniziato a cercare le soluzioni nella forma:
$U(x,t)=X(x)T(t)$
Ed imponendo le condizioni al contorno fornite ottengo:
$U(-pi,t)=X(-pi)T(t)=0$
$U(pi,t)=X(pi)T(t)=0$
Ovviamente, per evitare la soluzione banale ($T(t)=0$), applicando la legge di annullamento del prodotto ottengo:
$X(-pi)=X(pi)=0$
Ora che ho trovato le condizioni di compatibilità con i dati del probema procedo formalmente alla separazione delle variabili, imponendo:
$X^{''}/X=T^{''}/T=lambda$
Dunque, ricollegandoci al risultato precedente:
${ ( X''-lambda X=0 ),( X(-pi)=X(pi)=0 ):}$
Ora assumo che questa equazione differenziale ammetta soluzione, per $lambda=-alpha^{2}<0$ (con $lambda$ definito in questo modo per avere più ordine nei passaggi):
$X(x)=acos(alpha x)+bsin(alpha x)$ con $a$ e $b$ $\in \mathbb R$ costanti da determinare.
Qui arrivano i problemi.
Applico le condizioni iniziali:
$X(pi)=acos(alpha pi)+bsin(alpha pi)=0$
$X(-pi)=acos(-alpha pi)+bsin(-alpha pi)=0$
Ora, l'unica soluzione possibile è $a=b=0$ per soddisfare entrambe le uguaglianze. Quindi questo caso non mi fornisce informazioni utili.
Mi restano da valutare i casi:
$lambda=alpha^{2}>0$
$\lambda=alpha^{2}=0$
Dalla teoria ho imparato che il caso $lambda=alpha^{2}>0$ di norma non fornisce una soluzione al problema.
Mi resta quindi l'ultimo caso:
$X(pi)=a+bpi=0$
$X(-pi)=a-bpi=0$
Che mi fornisce sempre $a=b=0$.
Proseguendo, anche la parte temporale ipotizzo avrà un aspetto del tutto simile essendo anch'essa espressa tramite una equazione differenziale del secondo ordine.
A qaunto pare non riesco ad uscirne con queste condizioni al contorno. Cosa ne pensate? Sto sbagliando/dimenticando qualcosa nel mio modo di ragionare? Un grazie a tutti quelli che spenderanno qualche minuto del loro tempo per aiutarmi.
.
Risposte
Si tratta di un classico, la corda vibrante fissata agli estremi. Se i dati iniziali:
fossero entrambi dispari, la risoluzione sarebbe più agevole. Infatti:
Inoltre:
In definitiva:
Tuttavia, imponendo i dati iniziali:
la seconda condizione, essendo il primo membro una funzione pari, non può essere soddisfatta. Per ovviare, è necessario considerare la funzione nell'intervallo $[0,2\pi]$ mediante una traslazione verso destra di $\pi$:
$u(x,0)=x(\pi^2-x^2)$
$(delu)/(delt)(x,0)=3cos(3/2x)$
fossero entrambi dispari, la risoluzione sarebbe più agevole. Infatti:
$u_n(x,t)=[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx) rarr$
$rarr \{((del^2u_n)/(delt^2)=-n^2[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx)),((del^2u_n)/(delx^2)=-n^2[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx)):} rarr [(del^2u_n)/(delt^2)-(del^2u_n)/(delx^2)=0]$
Inoltre:
$u_n(x,t)=[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx) rarr$
$rarr u_n(-\pi,t)=u_n(\pi,t)=0$
In definitiva:
$u(x,t)=\sum_{n=0}^{+oo}[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx)$
Tuttavia, imponendo i dati iniziali:
$u(x,0)=x(\pi^2-x^2)=\sum_{n=0}^{+oo}A_nsin(nx)$
$(delu)/(delt)(x,0)=3cos(3/2x)=\sum_{n=0}^{+oo}nB_nsin(nx)$
la seconda condizione, essendo il primo membro una funzione pari, non può essere soddisfatta. Per ovviare, è necessario considerare la funzione nell'intervallo $[0,2\pi]$ mediante una traslazione verso destra di $\pi$:
$\{((del^2u)/(delt^2)-(del^2u)/(delx^2)=0),(u(x,0)=-x(x-\pi)(x-2\pi)),((delu)/(delt)(x,0)=-3sin(3/2x)),(u(0,t)=u(2\pi,t)=0):}$
$u(x,t)=\sum_{n=0}^{+oo}[A_ncos(n/2t)+B_nsin(n/2t)]sin(n/2x)$
$u(x,0)=-x(x-\pi)(x-2\pi)=\sum_{n=0}^{+oo}A_nsin(n/2x)$
$(delu)/(delt)(x,0)=-3sin(3/2x)=\sum_{n=0}^{+oo}n/2B_nsin(n/2x)$
"anonymous_0b37e9":
Si tratta di un classico, la corda vibrante fissata agli estremi. Se i dati iniziali:
$u(x,0)=x(\pi^2-x^2)$
$(delu)/(delt)(x,0)=3cos(3/2x)$
fossero entrambi dispari, la risoluzione sarebbe più agevole. Infatti:
$u_n(x,t)=[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx) rarr$
$rarr \{((del^2u_n)/(delt^2)=-n^2[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx)),((del^2u_n)/(delx^2)=-n^2[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx)):} rarr [(del^2u_n)/(delt^2)-(del^2u_n)/(delx^2)=0]$
Inoltre:
$u_n(x,t)=[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx) rarr$
$rarr u_n(-\pi,t)=u_n(\pi,t)=0$
In definitiva:
$u(x,t)=\sum_{n=0}^{+oo}[A_ncos(nt)+B_nsin(nt)]sin(nx)$
Tuttavia, imponendo i dati iniziali:
$u(x,0)=x(\pi^2-x^2)=\sum_{n=0}^{+oo}A_nsin(nx)$
$(delu)/(delt)(x,0)=3cos(3/2x)=\sum_{n=0}^{+oo}nB_nsin(nx)$
la seconda condizione, essendo il primo membro una funzione pari, non può essere soddisfatta. Per ovviare, è necessario considerare la funzione nell'intervallo $[0,2\pi]$ mediante una traslazione verso destra di $\pi$:
$\{((del^2u)/(delt^2)-(del^2u)/(delx^2)=0),(u(x,0)=-x(x-\pi)(x-2\pi)),((delu)/(delt)(x,0)=-3sin(3/2x)),(u(0,t)=u(2\pi,t)=0):}$
$u(x,t)=\sum_{n=0}^{+oo}[A_ncos(n/2t)+B_nsin(n/2t)]sin(n/2x)$
$u(x,0)=-x(x-\pi)(x-2\pi)=\sum_{n=0}^{+oo}A_nsin(n/2x)$
$(delu)/(delt)(x,0)=-3sin(3/2x)=\sum_{n=0}^{+oo}n/2B_nsin(n/2x)$
Grazie mille per la risposta e buona domenica.
Ho capito il ragionamento utilizzato, non pensavo di dover avere l'idea di "traslare" le condizioni iniziali del problema di $pi$.
Inoltre vorrei chiederti se gentilmente mi potresti indicare come hai ricalcolato $u(x,0)=x(pi-x^2)$ in $u(x,0)=-x(x-pi)(x-2pi)$.
Ti ringrazio davvero per la disponibilità e l'aiuto. A presto
.
Non vedo perché si debba trasferire il problema da (-pi,pi) a (0,2pi), la condizione $u(-pi)=u(pi)=0$ è soddisfatta per $alpha=(2n+1)/2$
"anonymous_0b37e9":
Per ovviare, è necessario considerare la funzione nell'intervallo ...
"Vulplasir":
Non vedo perché si debba trasferire il problema da ...
In effetti, non si tratta di una vera e propria necessità. Tuttavia, senza traslare, ho l'impressione che le cose si complichino. Infatti, separando le variabili:
$[u_(t t)-u_(x x)=0] ^^ [u(x,t)=X(x)T(t)] rarr$
$rarr [1/X(d^2X)/(dx^2)=1/T(d^2T)/(dt^2)=-k^2] ^^ [k in RR] rarr$
$rarr [(d^2X)/(dx^2)+k^2X=0] ^^ [(d^2T)/(dt^2)+k^2T=0] rarr$
$rarr [X(x)=A_kcoskx+B_ksinkx] ^^ [T(t)=C_kcoskt+D_ksinkt]$
e imponendo le condizioni al contorno:
$\{(X(-\pi)=0),(X(\pi)=0):} rarr \{(A_kcosk\pi-B_ksink\pi=0),(A_kcosk\pi+B_ksink\pi=0):}$
il sistema ammette soluzione diversa da quella nulla se e solo se:
$[2sink\picosk\pi=0] rarr [sin2k\pi=0] rarr [2k\pi=n\pi] rarr [k=n/2]$
e considerando la prima equazione:
$[A_ncos(n/2\pi)-B_nsin(n/2\pi)=0] rarr $[n pari: $A_n=0] vv $[n dispari: $B_n=0]$
A me risulta così:
$X(x)=acos(alphax)+bsin(alphax)$
Le condizioni ai bordi $X(pi)=X(-pi)=0$ ammettono soluzioni non nulle per:
$alpha=n$, che restituisce $X(x)=bsin(nx)$, che non va bene per quanto detto da te all'inizio
Oppure:
$alpha=(2n+1)/2$, che restituisce $X(x)=acos((2n+1)/2x)$, per n=0,1...
$X(x)=acos(alphax)+bsin(alphax)$
Le condizioni ai bordi $X(pi)=X(-pi)=0$ ammettono soluzioni non nulle per:
$alpha=n$, che restituisce $X(x)=bsin(nx)$, che non va bene per quanto detto da te all'inizio
Oppure:
$alpha=(2n+1)/2$, che restituisce $X(x)=acos((2n+1)/2x)$, per n=0,1...
Ciao Vulplasir. Stai seguendo il procedimento di lo92muse? Te lo chiedo perché non l'ho controllato.
Il procedimento è lo stesso che hai seguito tu, solo che quando dici:
Mi pare che non sia così. Il sistema ammette soluzione non nulla se e solo se:
$k=n$ oppure $k=(2n+1)/2$, Scegliendo k=n si arriva a dover scrivere $3cos(3/2x)=sumnA_nsin(nx)$ impossibile per quanto detto da te, scegliendo $k=(2n+1)/2$ si arriva a dover scrivere $3cos(3/2x)=sum(2n+1)/2A_ncos((2n+1)/2x)$
Che restituisce $A_1=2$, $A_n=0$ per tutti gli altri n
il sistema ammette soluzione diversa da quella nulla se e solo se:
$[2sinkπcoskπ=0]→[sin2kπ=0]→[2kπ=nπ]→[k=n/2]$
Mi pare che non sia così. Il sistema ammette soluzione non nulla se e solo se:
$k=n$ oppure $k=(2n+1)/2$, Scegliendo k=n si arriva a dover scrivere $3cos(3/2x)=sumnA_nsin(nx)$ impossibile per quanto detto da te, scegliendo $k=(2n+1)/2$ si arriva a dover scrivere $3cos(3/2x)=sum(2n+1)/2A_ncos((2n+1)/2x)$
Che restituisce $A_1=2$, $A_n=0$ per tutti gli altri n
Probabilmente mi sto perdendo qualcosa, ma quando ho scritto:
a me sembrano le tue stesse soluzioni con notazione diversa. Ad ogni modo, se così non fosse, non puoi esprimere il primo dato iniziale, la funzione dispari per intenderci.
$[2sinkπcoskπ=0]→[sin2kπ=0]→[2kπ=nπ]→[k=n/2]$
a me sembrano le tue stesse soluzioni con notazione diversa. Ad ogni modo, se così non fosse, non puoi esprimere il primo dato iniziale, la funzione dispari per intenderci.
Aspetta, mi salgono molti dubbi su questo problema. Lasciamo stare per un attimo quello che ho detto io fin'ora. Tu all'inizio dici che in (-pi,pi) non si può soddisfare la seconda condizione iniziale, e che per rimediare bisogna traslare il tutto di $pi$ a destra, ma facendo così non dovrebbe cambiare niente lo stesso, o no? Traslando a destra di pi, la condizione iniziale u(x,0), che prima era simmetrica rispetto a x=0, adesso diventa simmetrica rispetto a x=pi, stessa cosa per la seconda condizione e pure per le funzioni goniometriche, che mantengono inalterata la loro parità e disparità rispetto a $x=pi$ così come era rispetto a $x=0$, e quindi il problema, in ogni caso, non può soddisfare in alcun modo le condizioni iniziali. Insomma secondo me le condizioni iniziali sono incompatibili con il problema.
No, niente ho sbagliato
"lo92muse":
... come hai ricalcolato ...
$[x rarr x-\pi] rarr [x(\pi^2-x^2)=(x-\pi)(\pi^2-x^2-\pi^2+2\pix)=-x(x-\pi)(x-2\pi)]$
$[x rarr x-\pi] rarr [3cos(3/2x)=3cos(3/2x-3/2\pi)=-3sin(3/2x)]$
Inoltre, premesso che, a rigore, si può procedere anche senza traslazione, dopo aver traslato a destra di $\pi$:
$\{(u_(t t)-u_(x x)=0),(u(x,0)=-x(x-\pi)(x-2\pi)),((delu)/(delt)(x,0)=-3sin(3/2x)),(u(0,t)=u(2\pi,t)=0):}$
La soluzione sottostante:
$u(x,t)=\sum_{n=0}^{+oo}[A_ncos(n/2t)+B_nsin(n/2t)]sin(n/2x)$
soddisfa:
$u(0,t)=u(2\pi,t)=0$
Per quanto riguarda la prima condizione iniziale, è necessario sviluppare:
$u(x,0)=-x(x-\pi)(x-2\pi)=\sum_{n=0}^{+oo}A_nsin(n/2x)$
nell'intervallo $[0,2\pi]$ come restrizione della funzione che si ottiene estendendo $u(x,0)$ nell'intervallo $[-2\pi,2\pi]$ simmetricamente rispetto all'origine. Più semplicemente, per quanto riguarda la seconda condizione iniziale:
$[(delu)/(delt)(x,0)=-3sin(3/2x)=\sum_{n=0}^{+oo}n/2B_nsin(n/2x)] rarr [B_n=-2\delta_(3n)]$
Infine, è necessario operare la traslazione inversa sostituendo $x+\pi$ a $x$.
"anonymous_0b37e9":
[quote="lo92muse"]
... come hai ricalcolato ...
$[x rarr x-\pi] rarr [x(\pi^2-x^2)=(x-\pi)(\pi^2-x^2-\pi^2+2\pix)=-x(x-\pi)(x-2\pi)]$
$[x rarr x-\pi] rarr [3cos(3/2x)=3cos(3/2x-3/2\pi)=-3sin(3/2x)]$
Inoltre, premesso che, a rigore, si può procedere anche senza traslazione, dopo aver traslato a destra di $\pi$:
$\{(u_(t t)-u_(x x)=0),(u(x,0)=-x(x-\pi)(x-2\pi)),((delu)/(delt)(x,0)=-3sin(3/2x)),(u(0,t)=u(2\pi,t)=0):}$
La soluzione sottostante:
$u(x,t)=\sum_{n=0}^{+oo}[A_ncos(n/2t)+B_nsin(n/2t)]sin(n/2x)$
soddisfa:
$u(0,t)=u(2\pi,t)=0$
Per quanto riguarda la prima condizione iniziale, è necessario sviluppare:
$u(x,0)=-x(x-\pi)(x-2\pi)=\sum_{n=0}^{+oo}A_nsin(n/2x)$
nell'intervallo $[0,2\pi]$ come restrizione della funzione che si ottiene estendendo $u(x,0)$ nell'intervallo $[-2\pi,2\pi]$ simmetricamente rispetto all'origine. Più semplicemente, per quanto riguarda la seconda condizione iniziale:
$[(delu)/(delt)(x,0)=-3sin(3/2x)=\sum_{n=0}^{+oo}n/2B_nsin(n/2x)] rarr [B_n=-2\delta_(3n)]$
Infine, è necessario operare la traslazione inversa sostituendo $x+\pi$ a $x$.[/quote]
Buongiorno. Ho seguito con attenzione tutte le vostre risposte.
Quindi, ricapitolando:
Esiste una condizione, contrariamente a quanto da me affermato ($a=b=0$), per cui $X(-pi)=X(pi)=0$ che sarebbe data da $alpha=\frac{2n+1}{2}$.
Questa condizione, seppure utilizzabile, comporta una maggiore difficoltà di risoluzione al contrario della tarslazione.
Tutto corretto? Vi ringrazio davvero molto per il tempo che avete speso per aiutarmi.
Sostanzialmente è così.
"anonymous_0b37e9":
Sostanzialmente è così.
Fantastico, ringrazio ancora per l'aiuto.
.
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