Equazione di 3° grado complessa

[nl83.2]

Salve a tutti, vorrei sapere come impostare questa equazione di 3° grado nel campo complesso, non so davvero da dove iniziare.... ringrazio anticipatamente chi potra darmi una mano!

$ (1+i)z^3+2(2+i)z^2+3z=0 $

[pilloeffe]

Ciao nl83.2,

Benvenuto sul forum!

L'equazione proposta è elementare, basta raccogliere $z$ e diventa subito di secondo grado...
Dopo qualche passaggio si ottiene:

$z_1 = 0 $

$z_2 = 1/sqrt(2) - 3/2 + 1/2 i $

$z_3 = - 1/sqrt(2) - 3/2 + 1/2 i $

[nl83.2]

Grazie mille pilloeffe, si ovviamente ho provato come dici, ma forse ho una svista.. potresti mettermi giusto i primi passaggi principali? te ne sarei infinitamente grato! perchè io nell'equazione di secondo grado mi ritrovo una radice di i... forse sbaglio appunto qualcosa!

[pilloeffe]

"nl83.2":potresti mettermi giusto i primi passaggi principali?

Certo, nessun problema, comunque se ti viene $\sqrt{i}$ non credo che tu abbia sbagliato...
Consideriamo direttamente la sola equazione di secondo grado:

$(1+i)z^2+2(2+i)z+3 = 0 $

Essendo $b = 2(2 + i) $ il coefficiente di $z$, possiamo applicare la formula ridotta:

$z_{2,3} = \frac{- 2 - i \pm sqrt{(2 + i)^2 - 3(1 + i)}}{1 + i} = \frac{- 2 - i \pm sqrt{4 + 4i - 1 - 3 - 3i}}{1 + i} = $
$ = \frac{- 2 - i \pm sqrt{i}}{1 + i} = \frac{- 2 - i \pm sqrt{(i^2 + 2i + 1)/2}}{1 + i} = \frac{- 2 - i \pm 1/sqrt2 sqrt{(1 + i)^2}}{1 + i} = $
$ = \frac{- 2 - i \pm 1/sqrt2 (1 + i)}{1 + i} = \frac{(- 2 - i)(1 - i) \pm 1/sqrt2 (1 + i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = $
$ = \frac{- 2 + 2i - i - 1 \pm 2/sqrt2}{2} = \frac{i - 3 \pm 2/sqrt2}{2} = i/2 - 3/2 \pm 1/sqrt2 $

[nl83.2]

wow... c'è una cosa che non conosco allora!!!! ti faccio un ultimissima domanda dopo di che prometto che, oltre a ringraziarti un sacco anticipatamente, ti lascio in pace... quel passaggio dalla $ sqrti $ al quadrato del binomio.... ha una formula precisa? ossia c'è un procedimento specifico? grazie!!!!!!!!