\( \ell^p \) e \(L^p \).

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1) Sia \( 1 \leq p < q \leq \infty \) e \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) o \( \mathbb{C} \)
1.1) Sia \( f \in L_{\mathbb{F}}^{q}(0,1) \) dimostra che \( f \in L_{\mathbb{F}}^{p}(0,1) \)
1.2) Sia \( \xi \in \ell_{\mathbb{F}}^{p} \) dimostra che \( \xi \in \ell_{\mathbb{F}}^{q} \)

Mi chiedevo se il punto 1.2) dimostrasse che se \( f \in L_{\mathbb{F}}^{p}((1,\infty)) \) allora \( f \in L_{\mathbb{F}}^{q}((1,\infty)) \)
Infatti se non sbaglio per ogni \(f \in L_{\mathbb{F}}^{p}((1,\infty)) \) possiamo dire che \( f_{\xi}: ]1,\infty[ \to \mathbb{F} \) definita da per \( n < x \leq n+1 \) e \(n \in \mathbb{N} \) da
\[ x \mapsto f_{\xi}(x)= \left \lceil f(n+1) \right \rceil =: \xi_n = \xi \in \ell_{\mathbb{F}}^{p} \]
quindi per il punto 1.2) abbiamo \( f_{\xi} = \xi \in \ell_{\mathbb{F}}^{q} \) e \( f \leq f_{\xi} \) e che \( f_{\xi} \in L_{\mathbb{F}}^{q}((1,\infty)) \) allora \( f \in L_{\mathbb{F}}^{q}((1,\infty)) \).
Però mi pare anche che questo risultato è falso. Dove sbaglio nel ragionamento? Forse nel dire che \( \xi \in \ell^p \) perché sarebbe \( f_{\eta} (x) = \left \lfloor f(n+1) \right \rfloor =: \eta \in \ell^p \)?

Edit: direi di si, potrei sempre aggiungere su ogni intervallino \((n,n+1] \) uno scarto all integrale che diverge.

[Raptorista1]

C'è qualcosa che non mi convince nelle notazioni: \(\lceil\cdot\rceil\) e \(\lfloor\cdot\rfloor\) sono la parte intera superiore e inferiore?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Si

[dissonance]

"3m0o":se \( f \in L_{\mathbb{F}}^{p}((1,\infty)) \) allora \( f \in L_{\mathbb{F}}^{q}((1,\infty)) \)

Cominciamo col dire che questo è falso. Puoi prendere funzioni con una singolarità in un punto, per rendertene conto. Per esempio,
\[
f(t)=\frac{1}{\lvert t-2\rvert^\alpha}\mathbf 1_{\{t\le 3\}}.\]
(La funzione \(\mathbf 1_{\{t\le 3\}}\) vale 1 per \(t\le 3\) e zero altrimenti). Questa funzione è in \(L^r(1, \infty)\) per \(\alpha < \frac1 r\). Quindi se prendi \(1/\alpha\in (p, q)\) hai una funzione che è in \(L^p(1, \infty)\) ma non in \(L^q(1, \infty)\).

Nota che nello spazio \(\ell^p\) non puoi prendere funzioni che hanno una "singolarità in un punto". L'unico problema di convergenza viene a infinito. Questa è la differenza fondamentale tra \(\ell^p\) e \(L^p\).

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Si, ricordavo che era falso, peraltro l'ho dimostrato in un esame di analisi IV che è falso (anche se c'era \( \mathbb{R} \) invece di \((1,\infty) \) ma la ragione è la medesima). Solo che non trovavo l'errore nel mio ragionamento sopra. Ma penso che l'errore sia che non posso dire che \( \left \lceil f(n+1) \right \rceil \in \ell_{\mathbb{F}}^{p} \), bensì \( \left \lfloor f(n+1) \right \rfloor \in \ell_{\mathbb{F}}^{p} \)

[Raptorista1]

"3m0o":
Infatti se non sbaglio per ogni \(f \in L_{\mathbb{F}}^{p}((1,\infty)) \) possiamo dire che \( f_{\xi}: ]1,\infty[ \to \mathbb{F} \) definita da per \( n < x \leq n+1 \) e \(n \in \mathbb{N} \) da
\[ x \mapsto f_{\xi}(x)= \left \lceil f(n+1) \right \rceil =: \xi_n = \xi \in \ell_{\mathbb{F}}^{p} \]

Se prendi \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), allora \(f \in L^2((1,\infty))\) ma \(\xi_n = \left\lceil \frac{1}{(n+1)^2} \right\rceil= 1\) che non è in \(\ell^2((1,\infty))\), giusto?

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Giusto, grazie!