Dubbio sulla norma $L^p$
Ciao a tutti, ho un dubbio sugli spazi $L^p$
Se ho una successione di funzioni $f_n$ che sta in un certo $L^p(\Omega)$ con $p\in(1,+i\infty)$ è automatico dire che $||f_n||_p<\infty$ ??
Se ho una successione di funzioni $f_n$ che sta in un certo $L^p(\Omega)$ con $p\in(1,+i\infty)$ è automatico dire che $||f_n||_p<\infty$ ??
Risposte
Beh si', fa parte della definizione di quegli spazi.
Il dubbio sorgeva da un teorema dove considerava una successione in $L^p$ e chiedeva espressamente nelle ipotesi che le norme $p$ fossero limitate!
Forse uniformemente limitate (in \(n\)). A che teorema fai riferimento? Riporta l'enunciato.
E' un teorema sulla convergenza debole
Sia $p\in(1,+\infty)$, se $\{f_n\}$ in $L^p(\Omega)$ e $\f\inL^p(\Omega)$ tale da avere $T_{f_n}\to T_f$ nel senso delle distribuzioni allora se $||f_n||_p<=c$ con $c$ costante si ha $f_n$ converge debole a$ f$
Quel "se" mi ha fatto venire il dubbio
Sia $p\in(1,+\infty)$, se $\{f_n\}$ in $L^p(\Omega)$ e $\f\inL^p(\Omega)$ tale da avere $T_{f_n}\to T_f$ nel senso delle distribuzioni allora se $||f_n||_p<=c$ con $c$ costante si ha $f_n$ converge debole a$ f$
Quel "se" mi ha fatto venire il dubbio
Era come pensavo, credo che qui si intenda controllo uniforme in \(n\). Per essere piu' preciso, se prendi \( \{ f_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq L^p (\Omega) \) allora ovviamente (per definizione!) \( \| f_n \|_{L^p (\Omega)} < \infty \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \); non e' detto pero' che esista \(c > 0 \) tale che \( \| f_n \|_{L^p (\Omega)} < c \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \). Quest'ultima e' un'assunzione piu' forte.
Grazie mille! 
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