Dubbio su integrale con residui
Buongiorno,
sono nuovo del forum e spero di aver creato il topic nella sezione giusta.
Sono stato spinto ad iscrivermi e a chiedere una delucidazione in merito ad un integrale risolvibile mediante la teoria dei residui, poiché sto avendo delle difficoltà che non riesco a capire.
Vi spiego qual è il mio problema:
ho il seguente integrale da risolvere:
$ int_{-infty}^{+infty} cos^2x/((2x-pi)^2(8x^3+pi^3)) dx$
Innanzitutto valuto i due punti di singolarità:
$ x_1 = pi/2 $, $ x_2 = -pi/2 $
entrambe singolarità eliminabili, in quanto $x_1$ è zero di ordine 2 sia per numeratore e sia per denominatore, e $x_2$ è zero di ordine 2 per il numeratore e di ordine 1 per il denominatore, dunque per quest'ultimo l'ordine del numeratore è maggiore dell'ordine del denominatore.
Durante il corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria ho appreso che bisogna valutare la tipologia di integrale presentato in traccia e agire di conseguenza.
Ragionando, è evidente che non si può considerare il caso di un integrale nel caso di sommabilità poiché quest'ultimo prevede che gli zeri del denominatore non siano reali e dunque non è il mio caso; poi ancora ho pensato che è possibile considerare un integrale a valor principale poiché quest'ultimo prevede che gli zeri reali del denominatore siano semplici e il grado del denominatore + 1 sia maggiore del grado del numeratore, e siccome ho singolarità eliminabili devo "lavorare" sulla funzione sotto integrazione affinché $x_1$ e $x_2$ diventino zeri di ordine 1 per la funzione per andare avanti, diciamo così.
Dunque, seguendo questa strada, ho modificato la funzione nell'integrale utilizzando le formule di Eulero:
$cos^2x = (e^(ix)+e^(-ix))^2/4 = 1/2(1+cos(2x))$
e sostituendo nell'integrale:
$ int_{-infty}^{+infty} 1/2(1+cos(2x))/((2x-pi)^2(8x^3+pi^3)) dx$
ho questa quantità e sono consapevole del fatto che questa sostituzione non ha modificato la tipologia di singolarità, in quanto ancora eliminabili.
Per agire su quest'ultime ho appreso che bisogna utilizzare delle funzioni "ausiliare" (così nominate dal docente) passando da $RR$ a $CC$ per permettere di abbassare il grado dello zero nel numeratore.
In altre parole, ho trovato:
$ f(z) = 1/2(1+e^(i2z))/((2z-pi)^2(8z^3+pi^3))$
la cui funzione nell'integrale è visibile come la parte reale di questa $f(z)$.
Analizzando le singolarità ora, ottengo che $z_1 = pi/2$ è zero di ordine 1 per il numeratore e di ordine 2 per il denominatore, dunque un polo semplice per la funzione, e fino a qui nulla di problematico, anzi, tutto secondo i piani; invece $z_2 = -pi/2$ è zero di ordine 1 per il numeratore e di ordine 1 per il denominatore, dunque ancora una singolarità eliminabile.
Detto ciò non posso considerare ancora l'idea di considerare un integrale a valor principale perché gli zeri reali non sono tutti semplici e dunque non posso arrivare alla seguente conclusione:
$ v.p. int_{-infty}^{+infty} f(x) dx = ipi(\sum_{i=1}^N R[z_i])$
e dunque ancora, visto che è richiesta la parte reale:
$ Re(v.p. int_{-infty}^{+infty} f(x) dx) = Re(ipi(\sum_{i=1}^N R[z_i]))$
Ora come dovrei procedere?
Considero quest'ultimo integrale il quale risultato è ottenuto dal residuo in $pi/2$ mentre $-pi/2$ ha contributo nullo in quanto il suo residuo è nullo, essendo singolarità eliminabile. Opto per questa conclusione?
Oppure c'è qualche passaggio che mi manca, che magari ho sbagliato (non lo escludo
), oppure ho sbagliato completamente approccio e ho praticamente preso un palo in fronte?
Il dubbio su questa traccia è confermato dal fatto in questione: quando risolvo un integrale con la teoria dei residui, una volta ottenuto un ipotetico risultato calcolo il numero che esce fuori dalla mia soluzione e lo confronto con la soluzione di un noto calcolatore online che, datogli l'integrale come input, mi fornisce in output un valore numerico a 5-6 cifre decimali; e la maggior parte delle volte il mio risultato e quello del calcolatore coincidono perfettamente, fino alla sesta cifra decimale, cosa che con questo integrale non succede, o meglio, non succede per tutti questi integrali dove la funzione della traccia ha una singolarità di ordine superiore per il numeratore rispetto al denominatore e non uguale.
Infatti, nei casi in cui la funzione da integrare ha le singolarità eliminabili che non sono altro che singolarità di stesso ordine per numeratore e denominatore, applicando il ragionamento esposto fila tutto liscio come l'olio, cioè, come detto, in questi casi il mio risultato e quello del calcolatore coincidono perfettamente.
Vi ringrazio in anticipo per le risposte.
Chiedo scusa per il post decisamente lungo e dettagliato con delle banalità ma volevo esporre nei minimi dettagli la modalità di ragionamento adottata per far capire meglio a voi se qualcosa è andato storto (molto probabilmente qualcosa sarà andato storto)
sono nuovo del forum e spero di aver creato il topic nella sezione giusta.
Sono stato spinto ad iscrivermi e a chiedere una delucidazione in merito ad un integrale risolvibile mediante la teoria dei residui, poiché sto avendo delle difficoltà che non riesco a capire.
Vi spiego qual è il mio problema:
ho il seguente integrale da risolvere:
$ int_{-infty}^{+infty} cos^2x/((2x-pi)^2(8x^3+pi^3)) dx$
Innanzitutto valuto i due punti di singolarità:
$ x_1 = pi/2 $, $ x_2 = -pi/2 $
entrambe singolarità eliminabili, in quanto $x_1$ è zero di ordine 2 sia per numeratore e sia per denominatore, e $x_2$ è zero di ordine 2 per il numeratore e di ordine 1 per il denominatore, dunque per quest'ultimo l'ordine del numeratore è maggiore dell'ordine del denominatore.
Durante il corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria ho appreso che bisogna valutare la tipologia di integrale presentato in traccia e agire di conseguenza.
Ragionando, è evidente che non si può considerare il caso di un integrale nel caso di sommabilità poiché quest'ultimo prevede che gli zeri del denominatore non siano reali e dunque non è il mio caso; poi ancora ho pensato che è possibile considerare un integrale a valor principale poiché quest'ultimo prevede che gli zeri reali del denominatore siano semplici e il grado del denominatore + 1 sia maggiore del grado del numeratore, e siccome ho singolarità eliminabili devo "lavorare" sulla funzione sotto integrazione affinché $x_1$ e $x_2$ diventino zeri di ordine 1 per la funzione per andare avanti, diciamo così.
Dunque, seguendo questa strada, ho modificato la funzione nell'integrale utilizzando le formule di Eulero:
$cos^2x = (e^(ix)+e^(-ix))^2/4 = 1/2(1+cos(2x))$
e sostituendo nell'integrale:
$ int_{-infty}^{+infty} 1/2(1+cos(2x))/((2x-pi)^2(8x^3+pi^3)) dx$
ho questa quantità e sono consapevole del fatto che questa sostituzione non ha modificato la tipologia di singolarità, in quanto ancora eliminabili.
Per agire su quest'ultime ho appreso che bisogna utilizzare delle funzioni "ausiliare" (così nominate dal docente) passando da $RR$ a $CC$ per permettere di abbassare il grado dello zero nel numeratore.
In altre parole, ho trovato:
$ f(z) = 1/2(1+e^(i2z))/((2z-pi)^2(8z^3+pi^3))$
la cui funzione nell'integrale è visibile come la parte reale di questa $f(z)$.
Analizzando le singolarità ora, ottengo che $z_1 = pi/2$ è zero di ordine 1 per il numeratore e di ordine 2 per il denominatore, dunque un polo semplice per la funzione, e fino a qui nulla di problematico, anzi, tutto secondo i piani; invece $z_2 = -pi/2$ è zero di ordine 1 per il numeratore e di ordine 1 per il denominatore, dunque ancora una singolarità eliminabile.
Detto ciò non posso considerare ancora l'idea di considerare un integrale a valor principale perché gli zeri reali non sono tutti semplici e dunque non posso arrivare alla seguente conclusione:
$ v.p. int_{-infty}^{+infty} f(x) dx = ipi(\sum_{i=1}^N R[z_i])$
e dunque ancora, visto che è richiesta la parte reale:
$ Re(v.p. int_{-infty}^{+infty} f(x) dx) = Re(ipi(\sum_{i=1}^N R[z_i]))$
Ora come dovrei procedere?
Considero quest'ultimo integrale il quale risultato è ottenuto dal residuo in $pi/2$ mentre $-pi/2$ ha contributo nullo in quanto il suo residuo è nullo, essendo singolarità eliminabile. Opto per questa conclusione?
Oppure c'è qualche passaggio che mi manca, che magari ho sbagliato (non lo escludo
), oppure ho sbagliato completamente approccio e ho praticamente preso un palo in fronte?Il dubbio su questa traccia è confermato dal fatto in questione: quando risolvo un integrale con la teoria dei residui, una volta ottenuto un ipotetico risultato calcolo il numero che esce fuori dalla mia soluzione e lo confronto con la soluzione di un noto calcolatore online che, datogli l'integrale come input, mi fornisce in output un valore numerico a 5-6 cifre decimali; e la maggior parte delle volte il mio risultato e quello del calcolatore coincidono perfettamente, fino alla sesta cifra decimale, cosa che con questo integrale non succede, o meglio, non succede per tutti questi integrali dove la funzione della traccia ha una singolarità di ordine superiore per il numeratore rispetto al denominatore e non uguale.
Infatti, nei casi in cui la funzione da integrare ha le singolarità eliminabili che non sono altro che singolarità di stesso ordine per numeratore e denominatore, applicando il ragionamento esposto fila tutto liscio come l'olio, cioè, come detto, in questi casi il mio risultato e quello del calcolatore coincidono perfettamente.
Vi ringrazio in anticipo per le risposte.
Chiedo scusa per il post decisamente lungo e dettagliato con delle banalità ma volevo esporre nei minimi dettagli la modalità di ragionamento adottata per far capire meglio a voi se qualcosa è andato storto (molto probabilmente qualcosa sarà andato storto)
Risposte
"sedc38":
... valuto i due punti di singolarità ...
Veramente, nel campo dei numeri complessi:
$(2z-\pi)^2(8z^3+\pi^3)=0 harr$
$harr [z=1/2\pi] vv [z=1/2\pie^(i1/3\pi)] vv [z=-1/2\pi] vv [z=1/2\pie^(i5/3\pi)]$
Insomma, le singolarità della funzione:
$cos^2z/((2z-pi)^2(8z^3+pi^3))$
potrebbero essere quattro.
Giustissimo, non ci avevo fatto caso, accidenti che clamorosa svista! Mi lambiccavo il cervello su altro ma alla fine è un problema banale. Grazie mille per il suggerimento e riprovo a fare l'esercizio
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