Dubbio su funzioni olomorfe e condizioni di Cauchy Riemann
Ciao a tutti!
Una funzione è olomorfa in punto $z$ se esiste $lim_(∆z->0)(f(z+∆z)-f(z))/(∆z)$, indipendentemente dalla direzione in cui è calcolato il limite. Interpretando f come come una funzione in due variabili a valori in $RR^2$: $f(x,y) = (u(x,y), v(x,y))$, mi sembra che la condizione implichi che le derivate direzionali di f(x,y) debbano essere indipendenti dalla direzione lungo cui la derivata è valutata. Dall'analisi reale in più variabili, se pongo come direzione il vettore $n = (cos(t), sin(t))$, so che la derivata direzionale $D_nf(x,y)$ può essere calcolata tramite il differenziale di f, usando la matrice jacobiana:
$D_nf(x,y) = Jf(x,y)·n = (((delu)/(delx),(delu)/(dely)),((delv)/(delx),(delv)/(dely)))·((cos(t)),(sin(t)))$ .
Sapendo che l'olomorfia di f equivale alle condizioni di Cauchy-Riemann $(delu)/(delx) = (delv)/(dely), (delu)/(dely) = -(delv)/(delx)$, mi sarei aspettato di trovare direttamente una espressione indipendente da t, ma così non è.
Ad esempio $f(z)=z$, cioè $u(x,y) = x, v(x,y) = y$, otterrei seguendo questo procedimento:
$D_nf(x,y) = ((1,0),(0,1))·((cos(t)),(sin(t))) = ((cos(t)),(sin(t)))$ ,
mentre la derivata è chiaramente $f'(z)=1$.
Mi rendo conto che c'è qualcosa che mi sfugge, ma non riesco a capire cosa: è un problema di perdita della struttura di $CC$ passando alla funzione vettoriale oppure c'è altro e sto svarionando malamente? Grazie!
Una funzione è olomorfa in punto $z$ se esiste $lim_(∆z->0)(f(z+∆z)-f(z))/(∆z)$, indipendentemente dalla direzione in cui è calcolato il limite. Interpretando f come come una funzione in due variabili a valori in $RR^2$: $f(x,y) = (u(x,y), v(x,y))$, mi sembra che la condizione implichi che le derivate direzionali di f(x,y) debbano essere indipendenti dalla direzione lungo cui la derivata è valutata. Dall'analisi reale in più variabili, se pongo come direzione il vettore $n = (cos(t), sin(t))$, so che la derivata direzionale $D_nf(x,y)$ può essere calcolata tramite il differenziale di f, usando la matrice jacobiana:
$D_nf(x,y) = Jf(x,y)·n = (((delu)/(delx),(delu)/(dely)),((delv)/(delx),(delv)/(dely)))·((cos(t)),(sin(t)))$ .
Sapendo che l'olomorfia di f equivale alle condizioni di Cauchy-Riemann $(delu)/(delx) = (delv)/(dely), (delu)/(dely) = -(delv)/(delx)$, mi sarei aspettato di trovare direttamente una espressione indipendente da t, ma così non è.
Ad esempio $f(z)=z$, cioè $u(x,y) = x, v(x,y) = y$, otterrei seguendo questo procedimento:
$D_nf(x,y) = ((1,0),(0,1))·((cos(t)),(sin(t))) = ((cos(t)),(sin(t)))$ ,
mentre la derivata è chiaramente $f'(z)=1$.
Mi rendo conto che c'è qualcosa che mi sfugge, ma non riesco a capire cosa: è un problema di perdita della struttura di $CC$ passando alla funzione vettoriale oppure c'è altro e sto svarionando malamente? Grazie!
Risposte
Se ho capito bene stai dicendo che $Df(x,y)$ dovrebbe mandare $(cos(t), sin(t))$ in un vettore che non dipende da $t$, ma è falso perché altrimenti avresti due vettori indipendenti con la stessa immagine, cioè $Df$ non potrebbe mai essere suriettiva, quando in realtà lo è ogni volta che la "derivata complessa" di $f$ è diversa da $0$.
Quello che non puoi fare è interpretare il limite lungo una direzione come derivata direzionale, perché c'è una leggera differenza: fissato $\alpha \in CC \setminus \{0\}$ (che corrisponde a un vettore non nullo di $RR^2$, e quindi a una direzione), il limite è ciò che ottieni sostituendo $\Delta z$ con $t \alpha$, cioè $\lim_{t \rightarrow 0} {f(z+t \alpha)-f(z)}/{t alpha}=f'(z)$ (se esiste), mentre la derivata direzionale è $\lim_{t \rightarrow 0} {f(z+t alpha)-f(z)}/t=alpha f'(z)$, che al variare di $alpha$ può essere un vettore qualsiasi (da notare che nel primo caso c'è una divisione tra numeri complessi, cosa che le derivate direzionali "non conoscono").
Quello che non puoi fare è interpretare il limite lungo una direzione come derivata direzionale, perché c'è una leggera differenza: fissato $\alpha \in CC \setminus \{0\}$ (che corrisponde a un vettore non nullo di $RR^2$, e quindi a una direzione), il limite è ciò che ottieni sostituendo $\Delta z$ con $t \alpha$, cioè $\lim_{t \rightarrow 0} {f(z+t \alpha)-f(z)}/{t alpha}=f'(z)$ (se esiste), mentre la derivata direzionale è $\lim_{t \rightarrow 0} {f(z+t alpha)-f(z)}/t=alpha f'(z)$, che al variare di $alpha$ può essere un vettore qualsiasi (da notare che nel primo caso c'è una divisione tra numeri complessi, cosa che le derivate direzionali "non conoscono").
Chiarissimo, ero proprio partito male. Grazie di nuovo!
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