Dubbio funzione

[alfiere15]

Buonasera!
In un articolo, ho un'applicazione $J: \mathcal{B}(\Omega, \RR) \to \mathbb{E}$, dove $\mathbb{E}$ è un'estensione di $RR$, mentre $\mathcal{B}(\Omega, \RR) $è un'insieme di funzioni da $RR^n$ a valori in $RR$, ed è definita: $J(f(x)) = \Sigma(x)$, dove $\Sigma(x) = \sum_i x_i$. P
er un precedente teorema, questa $J$ è ben definita e $\Sigma$ risulta $\mathbb{E}$-lineare.
Mi viene detto che il fatto che $\Sigma$ sia $\mathbb{E}$-lineare porta ad affermare che la $J$ preserva le combinazioni lineari su $RR$ (cioè che è $RR$-lineare, giusto?). Mi sfugge il perché...

[Trilogy]

Forse sfugge qualcosa a me. Se $\mathbb R \subset\mathbb E$ e hai che $\Sigma(ax+by)=a\Sigma(x)+b\Sigma(y)$ per ogni $a$ e $b$ in $\mathbb E$, non hai la stessa cosa in particolare per ogni $a$ e $b$ in $\mathbb R$?

[alfiere15]

Sì... giustamente! Che scemo che sono! Grazie mille!