Dubbio circa dimostrazione del Lemma di Fatou
Ciao a tutti, spero di aver postato nella sezione corretta. Sto affrontando teoria della misura e dopo aver dimostrato Beppo-Levi mi accingo come da titolo alla dimostrazione del Lemma di Fatou, di cui ho questa versione.
Proof:
Per la stabilità delle funzioni misurabili si ha che $f(x)$ è una funzione misurabile.
Sia $f(x)=lim_(k \rarr +\infty) g_k(x)$, dove $g_k(x)=i n f {f_h(x), h \geq k}$. Si ha quindi che le $g_k$ sono una successione crescente di funzioni misurabili, perciò è possibile applicare il risultato di Beppo-Levi e dire
La tesi segue allora grazie alla monotonia dell’integrale di Lebesgue, poichè si ha $g_k(x) \leq f_k(x)$ $(1)$
$\square$
I punti indicati con $(1)$ è ciò che non ho chiaro. In particolare, perché $g_k(x) \leq f_k(x)$ ? E' perché fissato un $k$ prendo l'inf delle ${f_h(x), h\geq k}$, corretto?
Detto questo, una volta arrivato ad applicare Beppo-Levi, perché posso dire
$lim_(k\rarr +\infty) int_{RR^n}g_k(x) \leq \lim i n f_(k\rarr +\infty) int_{RR^n}f_k(x)$?
Grazie per l'attenzioe, buona serata
Sia ${f_k}$ una successione di funzioni misurabili non negative, $f_k:RR^n \rarr [0,+\infty]$, allora se $f(x)= lim i n f_(k \rarr \infty) f_k$ si ha $ int_{RR^n}f(x)dx \leq lim i n f_(k \rarr \infty) int_{RR^n}f_k(x)dx $
Proof:
Per la stabilità delle funzioni misurabili si ha che $f(x)$ è una funzione misurabile.
Sia $f(x)=lim_(k \rarr +\infty) g_k(x)$, dove $g_k(x)=i n f {f_h(x), h \geq k}$. Si ha quindi che le $g_k$ sono una successione crescente di funzioni misurabili, perciò è possibile applicare il risultato di Beppo-Levi e dire
$int_{RR^n}f(x)=lim_(k\rarr +\infty) int_{RR^n}g_k(x)$
La tesi segue allora grazie alla monotonia dell’integrale di Lebesgue, poichè si ha $g_k(x) \leq f_k(x)$ $(1)$
$\square$
I punti indicati con $(1)$ è ciò che non ho chiaro. In particolare, perché $g_k(x) \leq f_k(x)$ ? E' perché fissato un $k$ prendo l'inf delle ${f_h(x), h\geq k}$, corretto?
Detto questo, una volta arrivato ad applicare Beppo-Levi, perché posso dire
$lim_(k\rarr +\infty) int_{RR^n}g_k(x) \leq \lim i n f_(k\rarr +\infty) int_{RR^n}f_k(x)$?
Grazie per l'attenzioe, buona serata
Risposte
P.S.: Come si può scrivere \liminf e \inf in modo decente e non come riportato nel post?
Ciao,
sto affrontando anche io l'esame di analisi 3...
La tua $gk(x)$ in effetti è definita come $gk(x)=max[min [g(x),fn(x)] ,0]$ con $g$ in $M(f)$ insieme delle funzioni non negative quasi ovunque, misurabili, limitate t.c. $0 \leq g(x) \leq f(x)$.
Nella mia dimostrazione, arrivata al punto in cui ti è poco chiaro, io dico che l'integrale lungo il dominio di $g(x)$ in $dx$ è uguale al limite per n che tende a + infinito del'integrale lungo ilo dominio di $gk(x) dx \leq$ al lim per n che tende a + infinito dell'inf dell'integrale lungo il dominio di $fk(x) dx$.
$gn$ dà il max dei minimi quindi per g che tende a infinito mi dà l'estremo inferiore.
Passando all'estremo superiore per $g$ in $M$ hai la tesi.
Per la domanda su Beppo Levi, dovrebbe essere $fn$ successione crescente di funzioni misurabili non negative quasi ovunque, $f$ limite puntuale di $fn$ e quindi per il lemma di Fatou puoi dire che l'integrale di $f(x)dx$ è $\leq$ del lim per n che tende a infinito dell' inf dell'integrale lungo il dominio di $fn(x) dx$.
Su questo sono abbastanza sicura.
Per la prima domanda non so se ho risposto al tuo dubbio con precisione. ciao.
sto affrontando anche io l'esame di analisi 3...
La tua $gk(x)$ in effetti è definita come $gk(x)=max[min [g(x),fn(x)] ,0]$ con $g$ in $M(f)$ insieme delle funzioni non negative quasi ovunque, misurabili, limitate t.c. $0 \leq g(x) \leq f(x)$.
Nella mia dimostrazione, arrivata al punto in cui ti è poco chiaro, io dico che l'integrale lungo il dominio di $g(x)$ in $dx$ è uguale al limite per n che tende a + infinito del'integrale lungo ilo dominio di $gk(x) dx \leq$ al lim per n che tende a + infinito dell'inf dell'integrale lungo il dominio di $fk(x) dx$.
$gn$ dà il max dei minimi quindi per g che tende a infinito mi dà l'estremo inferiore.
Passando all'estremo superiore per $g$ in $M$ hai la tesi.
Per la domanda su Beppo Levi, dovrebbe essere $fn$ successione crescente di funzioni misurabili non negative quasi ovunque, $f$ limite puntuale di $fn$ e quindi per il lemma di Fatou puoi dire che l'integrale di $f(x)dx$ è $\leq$ del lim per n che tende a infinito dell' inf dell'integrale lungo il dominio di $fn(x) dx$.
Su questo sono abbastanza sicura.
Per la prima domanda non so se ho risposto al tuo dubbio con precisione. ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo