Dubbi sulla trasformata di Fourier
Avevo alcuni dubbi da esporre riguardo la trasformata di Fourier.
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Se $x(t)$ è sommabile allora esiste la sua trasformata di Fourier.
Ma se non lo è? Esiste sempre nel senso delle distribuzioni?
[size=150]2[/size]
In alcuni testi vedo che l'antitrasformata di Fourier viene definita senza il fattore $\frac{1}{2\pi}$
Qual è la differenza? Perchè in alcuni testi c'è e in altri no?
[size=150]3[/size]
Perchè la trasformata di Fourier viene introdotta solo quando si inizia a parlare di distribuzioni temperate?
Quando ci sono state spiegate le distribuzioni, della trasformata di Fourier nemmeno l'ombra... solo dopo aver definito l'insieme delle distribuzioni temperate allora il docente ha definito la trasformata di Fourier di distribuzioni temperate.
Nel dubbio 1 ho riportato la relazione
$ = $
dove non ho specificato se si trattasse o meno di una distribuzione temperata... eppure il semplice fatto che $\varphi$ sia a supporto compatto non dovrebbe automaticamente renderla trasformabile secondo Fourier?
Perchè non si parla di trasformata di Fourier di distribuzioni non temperate?
Grazie in anticipo!
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Se $x(t)$ è sommabile allora esiste la sua trasformata di Fourier.
Ma se non lo è? Esiste sempre nel senso delle distribuzioni?
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In alcuni testi vedo che l'antitrasformata di Fourier viene definita senza il fattore $\frac{1}{2\pi}$
Qual è la differenza? Perchè in alcuni testi c'è e in altri no?
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Perchè la trasformata di Fourier viene introdotta solo quando si inizia a parlare di distribuzioni temperate?
Quando ci sono state spiegate le distribuzioni, della trasformata di Fourier nemmeno l'ombra... solo dopo aver definito l'insieme delle distribuzioni temperate allora il docente ha definito la trasformata di Fourier di distribuzioni temperate.
Nel dubbio 1 ho riportato la relazione
$
dove non ho specificato se si trattasse o meno di una distribuzione temperata... eppure il semplice fatto che $\varphi$ sia a supporto compatto non dovrebbe automaticamente renderla trasformabile secondo Fourier?
Perchè non si parla di trasformata di Fourier di distribuzioni non temperate?
Grazie in anticipo!
Risposte
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No, non esiste sempre dal momento che, in generale anche se consideri una funzione liscia $f(x)$, l'integrale:
\begin{equation}\label{int1}
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \phi(x)
\end{equation}
potrebbe non convergere per ogni $\phi(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ (prendi ad esempio $f(x) =\exp(x^4)$). In generale una funzione per essere Fourier-trasformabile nel senso delle distribuzioni, deve essere dominata all'infinito da un polinomio di qualche grado, in modo tale da garantire la convergenza dell'integrale \eqref{int1}. Non è ovviamente sufficiente dal momento che $f(x)$ potrebbe avere divergenze in qualche punto, tuttavia limitandosi a considerare funzioni continue (che sono ovviamente localmente integrabili), il criterio precedente ti permette di caratterizzarle completamente.
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Non cambia nulla. Ci sono fondamentalmente due convenzioni:
1) Convenzione Simmetrica: la trasformata di Fourier e la sua antitrasformata hanno entrambe un fattore di normalizzazione $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$, per cui, in virtù del teorema di Parseval, sono delle isometrie, ovvero conservano la norma delle funzioni. Tale convenzione è usata ad esempio in meccanica quantistica, in modo da stabilire l'equivalenza unitaria degli operatori momento e posizione.
2) Convenzione Antisimmetrica la trasformata di Fourier non ha coefficienti di normalizzazione mentre la sua antitrasformata ha un fattore $\frac{1}{2 \pi}$ in analogia con le serie di Fourier. Tale convenzione permette di inglobare la teoria delle serie di Fourier ed è leggermente più comoda per fare i conti
[size=150]3[/size]
Perchè lo spazio $\mathcal{D}'$ delle distribuzioni non temperate (di Schwartz?) non è invariante sotto azione della trasformata di Fourier distribuzionale, dal momento che $\mathcal{D}$ non è invariante sotto azione della trasformata di Fourier classica (la trasformata di Fourier di una funzione a supporto compatto non ha mai supporto compatto) a differenza di $\mathcal{S}$ (come si può provare abbastanza facilmente). Pertanto, utilizzando la definizione di trasformata di Fourier distribuzionale, tale operatore mappa $\mathcal{S}'$ in $\mathcal{S}'$, e quindi la definizione è sensata solamente in questo spazio.
Se $ x(t) $ è sommabile allora esiste la sua trasformata di Fourier.
Ma se non lo è? Esiste sempre nel senso delle distribuzioni?
No, non esiste sempre dal momento che, in generale anche se consideri una funzione liscia $f(x)$, l'integrale:
\begin{equation}\label{int1}
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \phi(x)
\end{equation}
potrebbe non convergere per ogni $\phi(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ (prendi ad esempio $f(x) =\exp(x^4)$). In generale una funzione per essere Fourier-trasformabile nel senso delle distribuzioni, deve essere dominata all'infinito da un polinomio di qualche grado, in modo tale da garantire la convergenza dell'integrale \eqref{int1}. Non è ovviamente sufficiente dal momento che $f(x)$ potrebbe avere divergenze in qualche punto, tuttavia limitandosi a considerare funzioni continue (che sono ovviamente localmente integrabili), il criterio precedente ti permette di caratterizzarle completamente.
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In alcuni testi vedo che l'antitrasformata di Fourier viene definita senza il fattore $ \frac{1}{2\pi} $
Qual è la differenza? Perchè in alcuni testi c'è e in altri no?
Non cambia nulla. Ci sono fondamentalmente due convenzioni:
1) Convenzione Simmetrica: la trasformata di Fourier e la sua antitrasformata hanno entrambe un fattore di normalizzazione $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$, per cui, in virtù del teorema di Parseval, sono delle isometrie, ovvero conservano la norma delle funzioni. Tale convenzione è usata ad esempio in meccanica quantistica, in modo da stabilire l'equivalenza unitaria degli operatori momento e posizione.
2) Convenzione Antisimmetrica la trasformata di Fourier non ha coefficienti di normalizzazione mentre la sua antitrasformata ha un fattore $\frac{1}{2 \pi}$ in analogia con le serie di Fourier. Tale convenzione permette di inglobare la teoria delle serie di Fourier ed è leggermente più comoda per fare i conti
[size=150]3[/size]
Perchè la trasformata di Fourier viene introdotta solo quando si inizia a parlare di distribuzioni temperate?
Quando ci sono state spiegate le distribuzioni, della trasformata di Fourier nemmeno l'ombra... solo dopo aver definito l'insieme delle distribuzioni temperate allora il docente ha definito la trasformata di Fourier di distribuzioni temperate. Perchè non si parla di trasformata di Fourier di distribuzioni non temperate?
Perchè lo spazio $\mathcal{D}'$ delle distribuzioni non temperate (di Schwartz?) non è invariante sotto azione della trasformata di Fourier distribuzionale, dal momento che $\mathcal{D}$ non è invariante sotto azione della trasformata di Fourier classica (la trasformata di Fourier di una funzione a supporto compatto non ha mai supporto compatto) a differenza di $\mathcal{S}$ (come si può provare abbastanza facilmente). Pertanto, utilizzando la definizione di trasformata di Fourier distribuzionale, tale operatore mappa $\mathcal{S}'$ in $\mathcal{S}'$, e quindi la definizione è sensata solamente in questo spazio.
Ti ringrazio, è tutto chiarissimo!
Però riguardo il secondo punto... tu hai detto che ci sono due convenzioni, ed in entrambe dici che c'è un fattore di normalizzazione nell'antitrasformata (mentre la trasformata ce l'ha solo nella convenzione simmetrica, e non in quella antisimmetrica)
Nella foto che ho allegato, però, l'antitrasformata non ha nessun fattore di normalizzazione...
nè $\frac{1}{2\pi}$ nè $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$
Quindi quella nella foto non rientra in nessuna delle due convenzioni che mi hai elencato?
Però riguardo il secondo punto... tu hai detto che ci sono due convenzioni, ed in entrambe dici che c'è un fattore di normalizzazione nell'antitrasformata (mentre la trasformata ce l'ha solo nella convenzione simmetrica, e non in quella antisimmetrica)
Nella foto che ho allegato, però, l'antitrasformata non ha nessun fattore di normalizzazione...
nè $\frac{1}{2\pi}$ nè $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$
Quindi quella nella foto non rientra in nessuna delle due convenzioni che mi hai elencato?
In realtà l'antitrasformata che mi hai inviato è definita in modo antisimmetrico. Lo vedi facilmente se la scrivi usando la pulsazione invece che la frequenza $\omega = 2 \pi \nu$
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