Dubbi calcolo integrale al valor principale

[Archwing]

Ciao a tutti. Ho alcuni dubbi sul calcolo del seguente integrale tramite i residui:
$PV\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ikx}/xdx$
dove $k$ appartiene ai reali e $PV$ indica il valor principale di Cauchy.

I miei dubbi sono i seguenti:

1) L'unica singolarità è il polo semplice $z=0$ quindi il percorso di integrazione deve "aggirare" tale singolarità descrivendo un semicerchio intorno ad essa, però quale percorso di integrazione devo scegliere in questo caso?

2) Il risultato del professore è $i\pi sgn(k)$, dove non comprendo la presenza di $sgn(k)$ perchè non ho capito se proviene dal fatto che metto il percorso di integrazione nel semipiano complesso inferiore, e quindi orientandolo negativamente, oppure dal fatto che metto nel semipiano complesso inferiore solo il semicerchio intorno alla singolarità.
Infatti calcolando il residuo in $z=0$ si ha
$Res(f(z),0)=1$ dove $f(z)=e^{ikz}/z$
quindi $PV\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ikx}/xdx=i\piRes(f(z),0)=i\pi$
indipendentemente dal segno di $k$, nonostante la funzione sia dispari.

Potete, per favore, rispondermi?

[anonymous_0b37e9]

"Archwing":
... quale percorso di integrazione devo scegliere in questo caso?

In base al seguente lemma:



non ha alcuna rilevanza.

"Archwing":
... non comprendo la presenza di $sgn(k)$ ...

Se $[k lt 0]$ devi chiudere sotto, se $[k gt 0]$ devi chiudere sopra.

[Archwing]

Grazie mille.