Dove posso trovare la dimostrazione del teorema di Alexsandrov in dim 1?
Mi servirebbe la dimostrazione del teorema di Alexsandrov per le funzioni convesse in dimensione $1$.
Sia $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ convessa, allora $f$ ha derivata seconda quasi ovunque. Più precisamente vale l'espansione di Taylor di $f$ fino al secondo ordine.
Ho trovato una dimostrazione nel caso di dimensione $n$ generica nel libro di Evans and Gariepy, 'Measure theory and finite properties of functions'.
Visto che mi serve questo risultato solo in dim $1$ mi chiedevo se ci fosse qualche dimostrazione più semplice.
Qualcuno potrebbe darmi dei riferimenti? Grazie mille!
Sia $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ convessa, allora $f$ ha derivata seconda quasi ovunque. Più precisamente vale l'espansione di Taylor di $f$ fino al secondo ordine.
Ho trovato una dimostrazione nel caso di dimensione $n$ generica nel libro di Evans and Gariepy, 'Measure theory and finite properties of functions'.
Visto che mi serve questo risultato solo in dim $1$ mi chiedevo se ci fosse qualche dimostrazione più semplice.
Qualcuno potrebbe darmi dei riferimenti? Grazie mille!
Risposte
Non ricordo bene, ma forse il caso 1d lo trovi sul libro di Rockafellar.
Di fatto, se una funzione \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) è convessa allora ammette in ogni punto derivata destra e sinistra, ed entrambe queste funzioni sono motonone crescenti (e coincidono al di fuori di un insieme al più numerabile di punti di salto).
A questo punto si usa il fatto che una funzione monotona è derivabile quasi ovunque.
Di fatto, se una funzione \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) è convessa allora ammette in ogni punto derivata destra e sinistra, ed entrambe queste funzioni sono motonone crescenti (e coincidono al di fuori di un insieme al più numerabile di punti di salto).
A questo punto si usa il fatto che una funzione monotona è derivabile quasi ovunque.
Grazie mille!
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