Dominio di convergenza serie di funzioni

[Giammo01]

Salve a tutti, ieri all'università ho provato l'esame scritto di Metodi matematici e non sono riuscito a svolgere un esercizio sulle serie di funzioni; ho anche chiesto ad altri che hanno fatto l'esame con me e nessuno è riuscito a rispondermi. Spero che qualcuno di voi sappia aiutarmi

Calcolare il dominio di convergenza della seguente serie di funzioni: $\sum_{n=1}^oo n^2 * sen(2^(1-nx))$

[marco2132k]

Ti stai chiedendo per quali \( x\in \mathbb R \) la serie di funzioni \( f_n\colon \mathbb R\to \mathbb R \), \( f_n(x) = n^2\sin(2^{1 - nx}) \) converge puntualmente; cioè, ti stai chiedendo quando la successione delle somme parziali \( \sum_{j = 0}^N f_j(x) \), \( N\in \mathbb N \), converge puntualmente; cioè x2, ti stai chiedendo per quali \( x\in \mathbb R \) fissati esiste il limite
\[
\lim_{N\to \infty}\sum_{j = 0}^N f_j(x) = \sum_{n = 0}^\infty f_n(x) = \sum_{n = 0}^\infty{n^2\sin(2^{1 - nx})}\text{.}
\]

Per rispondere devi studiare la serie con parametro \( x\in \mathbb R \)
\[
\sum_{n = 0}^\infty{n^2\sin(2^{1 - nx})}\text{.}
\]
Io ho pensato di controllare intanto per quali \( x \) il termine generale \( n^2\sin(2^{1 - nx}) \) è infinitesimo, e poi ho usato il ctireio del rapporto. Mi viene che converge per \( x > 0 \).

[pilloeffe]

Ciao Giammo01,

Direi che la serie proposta può sperare di convergere solo se l'argomento del seno tende a $0$ in un certo modo, e quando questo accade si può usare la ben nota disuguaglianza $sin(y) \le y $
A me il dominio di convergenza risulta $x > 0 $