Domande su esercizi analisi reale, convergenza monotona e dominata
Ciao ragazzi, qui di seguito vi riporto alcuni esercizi su cui avrei delle piccole domande.
1) prima di tutto, qualcuno per favore mi chiarisca una volta per tutte come posso scrivere in simboli qui sul forum l'espressione "limite che tende a + infinito" e l'integrale con gli estremi. Non riesco a trovare nulla nei simboli
2) Ho questo esercizio:
Calcolare:
\[
\lim_{n\to +\infty} n\cdot \int_0^1 x^n (1-x)\ \text{d} x
\]
Io ho ragionato così: posto $f_n(x) = nx^n(1-x)$ ho analizzato $f_n(x)$ vedendo che è misurabile, monotona crescente e non negativa.
Dicendo ciò,posso applicare il teorema di convergenza monotona, portando dunque il limite dentro l'integrale e svolgendo i conti?
Qui il suggerimento è di applicare il teorema di Lebesgue, però dovrei dire che esiste una $g(x)$ tale che $fn(x) < g(x)$ ... quale $g(x)$ potrei utilizzare e perchè?
3)esercizio: calcolare $lim$ con $n->+\infty$ dell'integrale con estremi $1,n$ di $x^-2(senx)^n dx$
Ho ragionato così:
Introducendo la funzione caratteristica, avrò $lim->+\infty$ dell'integrale da $1$ a $+\infty$ di $\chi (1,n) x^-2 (senx)^n dx$
Chiamo $fn(x)$ = $\chi (1,n) x^-2 (senx)^n $
Noto che essa è misurabile, non negativa.
Applicando Lebesgue, dirò che esiste $g(x)$ sommabile tale che sia maggiore di $fn(x)$.
Scelgo $g(x)= x^-2$, che è sommabile in $(1, +\infty)$
Detto ciò porto il limite nell'integrale e svolgo.
E' corretto questo procedimento?
Grazie
1) prima di tutto, qualcuno per favore mi chiarisca una volta per tutte come posso scrivere in simboli qui sul forum l'espressione "limite che tende a + infinito" e l'integrale con gli estremi. Non riesco a trovare nulla nei simboli
2) Ho questo esercizio:
Calcolare:
\[
\lim_{n\to +\infty} n\cdot \int_0^1 x^n (1-x)\ \text{d} x
\]
Io ho ragionato così: posto $f_n(x) = nx^n(1-x)$ ho analizzato $f_n(x)$ vedendo che è misurabile, monotona crescente e non negativa.
Dicendo ciò,posso applicare il teorema di convergenza monotona, portando dunque il limite dentro l'integrale e svolgendo i conti?
Qui il suggerimento è di applicare il teorema di Lebesgue, però dovrei dire che esiste una $g(x)$ tale che $fn(x) < g(x)$ ... quale $g(x)$ potrei utilizzare e perchè?
3)esercizio: calcolare $lim$ con $n->+\infty$ dell'integrale con estremi $1,n$ di $x^-2(senx)^n dx$
Ho ragionato così:
Introducendo la funzione caratteristica, avrò $lim->+\infty$ dell'integrale da $1$ a $+\infty$ di $\chi (1,n) x^-2 (senx)^n dx$
Chiamo $fn(x)$ = $\chi (1,n) x^-2 (senx)^n $
Noto che essa è misurabile, non negativa.
Applicando Lebesgue, dirò che esiste $g(x)$ sommabile tale che sia maggiore di $fn(x)$.
Scelgo $g(x)= x^-2$, che è sommabile in $(1, +\infty)$
Detto ciò porto il limite nell'integrale e svolgo.
E' corretto questo procedimento?
Grazie
Risposte
"WhiteC":
1) prima di tutto, qualcuno per favore mi chiarisca una volta per tutte come posso scrivere in simboli qui sul forum l'espressione "limite che tende a + infinito" e l'integrale con gli estremi. Non riesco a trovare nulla nei simboli
Se sai usare LaTeX è semplice.
Basta guardare com ho modificato il tuo post.
"WhiteC":
2) Ho questo esercizio:
Calcolare:
\[
\lim_{n\to +\infty} n\cdot \int_0^1 x^n (1-x)\ \text{d} x
\]
Io ho ragionato così: posto $f_n(x) = nx^n(1-x)$ ho analizzato $f_n(x)$ vedendo che è misurabile, monotona crescente e non negativa.
Dicendo ciò,posso applicare il teorema di convergenza monotona, portando dunque il limite dentro l'integrale e svolgendo i conti?
Mi pare davvero difficile dire che la successione degli integrandi sia monotòna (rispetto ad $n$)... Come hai fatto?
"WhiteC":
Qui il suggerimento è di applicare il teorema di Lebesgue, però dovrei dire che esiste una $g(x)$ tale che $fn(x) < g(x)$ ... quale $g(x)$ potrei utilizzare e perchè?
Io consiglierei la Convergenza Limitata.
Prova a studiarti le $f_n$ ed a determinarne i massimi assoluti in $[0,1]$; se l'insieme dei valori massimi è limitato superiormente sei a posto (perchè?).
"WhiteC":
3)esercizio: calcolare $lim$ con $n->+\infty$ dell'integrale con estremi $1,n$ di $x^-2(senx)^n dx$
Ho ragionato così:
Introducendo la funzione caratteristica, avrò $lim->+\infty$ dell'integrale da $1$ a $+\infty$ di $\chi (1,n) x^-2 (senx)^n dx$
Chiamo $fn(x)$ = $\chi (1,n) x^-2 (sen x)^n $
Noto che essa è misurabile, non negativa.
Al paese mio il seno cambia segno ogni tanto... Dalle tue parti no?
"WhiteC":
Applicando Lebesgue, dirò che esiste $g(x)$ sommabile tale che sia maggiore di $fn(x)$.
Scelgo $g(x)= x^-2$, che è sommabile in $(1, +\infty)$
Detto ciò porto il limite nell'integrale e svolgo.
E' corretto questo procedimento?
A parte l'assurdità di prima, sì.
Ciao!
1)No, non so usare LaTeX, altrimenti non avrei chiesto
comunque ho visto la modifica al tuo post, lo userò per le prossime volte, grazie.
2)Ok, provo ad applicare il teorema di convergenza limitata.
Per la monotonia, ho pensato (e a quanto pare sbaglio) $nx^n(1−x)$ $<$ $n+1 x^(n+1) (1-x)$.
3)No, non è non negativa.
Anche perchè il teorema di Lebesgue non prevede tra le ipotesi la non negatività, bensì la misurabilità; considerare la non negatività non avrebbe senso.
Sì, il seno ( come anche il coseno magari) anche a casa mia cambia di segno periodicamente. L'esercizio che volevo proporre inizialmente era un altro, precisamente uno con l'applicazione del teorema di Beppo Levi. Ho cancellato dei pezzi, ho dimenticato quello; chiedo venia.
Approfitto per chiedere una cosa riguardo il punto 3:
Quando applico il teorema di Lebesgue, quindi, mi basta vedere se $fn(x)$ è misurabile...dopo di che cerco una $g(x)$ sommabile e porto il limite nell'integrale per il successivo svolgimento dei calcoli?
Grazie
1)No, non so usare LaTeX, altrimenti non avrei chiesto
comunque ho visto la modifica al tuo post, lo userò per le prossime volte, grazie.2)Ok, provo ad applicare il teorema di convergenza limitata.
Per la monotonia, ho pensato (e a quanto pare sbaglio) $nx^n(1−x)$ $<$ $n+1 x^(n+1) (1-x)$.
3)No, non è non negativa.
Anche perchè il teorema di Lebesgue non prevede tra le ipotesi la non negatività, bensì la misurabilità; considerare la non negatività non avrebbe senso.
Sì, il seno ( come anche il coseno magari) anche a casa mia cambia di segno periodicamente. L'esercizio che volevo proporre inizialmente era un altro, precisamente uno con l'applicazione del teorema di Beppo Levi. Ho cancellato dei pezzi, ho dimenticato quello; chiedo venia.
Approfitto per chiedere una cosa riguardo il punto 3:
Quando applico il teorema di Lebesgue, quindi, mi basta vedere se $fn(x)$ è misurabile...dopo di che cerco una $g(x)$ sommabile e porto il limite nell'integrale per il successivo svolgimento dei calcoli?
Grazie
"WhiteC":
1)No, non so usare LaTeX, altrimenti non avrei chiesto
Prego.
Ti consiglio comunque di impararlo, poiché ti servirà per le tesi.
"WhiteC":
2)Ok, provo ad applicare il teorema di convergenza limitata.
Per la monotonia, ho pensato (e a quanto pare sbaglio) $nx^n(1−x)$ $<$ $n+1 x^(n+1) (1-x)$.
Che ti porta, se non vedo male, a stabilire che la disuguaglianza vale solo per \(x>\frac{n}{n+1}\) e non in tutto \((0,1)\).
Quindi la successione di funzioni non è monotòna.
"WhiteC":
3)No, non è non negativa.
Anche perchè il teorema di Lebesgue non prevede tra le ipotesi la non negatività, bensì la misurabilità; considerare la non negatività non avrebbe senso.
Sì, il seno ( come anche il coseno magari) anche a casa mia cambia di segno periodicamente. L'esercizio che volevo proporre inizialmente era un altro, precisamente uno con l'applicazione del teorema di Beppo Levi. Ho cancellato dei pezzi, ho dimenticato quello; chiedo venia.
Ah, ecco, mi pareva troppo strano...
"WhiteC":
Approfitto per chiedere una cosa riguardo il punto 3:
Quando applico il teorema di Lebesgue, quindi, mi basta vedere se $fn(x)$ è misurabile...dopo di che cerco una $g(x)$ sommabile e porto il limite nell'integrale per il successivo svolgimento dei calcoli?
Come al solito: si tratta sempre di determinare una $g$ sommabile, non negativa e tale che \(|f_n|\leq g\) q.o. nell'insieme di integrazione.
Per quanto riguarda il suggerimento che mi hai dato sul punto 2
$fn(x)$ è misurabile, $|fn(x)|\leq fn(max)$. studio la derivabilità per vedere il massimo fissando $n$ .
$fn'(x) = n^2 x^(n-1) (1-x) -nx^n =n x^ (n-1) (n-nx-x)=0 \Leftrightarrow x=0$ oppure $ x=n/(n+1)$.
$|fn(x)|\leq fn (n/(n+1)) = (n/(n+1))^(n+1) \leq 1$
Qui posso applicare la convergenza dominata?
Facendo i calcoli, trovo che il risultato è $0$
$fn(x)$ è misurabile, $|fn(x)|\leq fn(max)$. studio la derivabilità per vedere il massimo fissando $n$ .
$fn'(x) = n^2 x^(n-1) (1-x) -nx^n =n x^ (n-1) (n-nx-x)=0 \Leftrightarrow x=0$ oppure $ x=n/(n+1)$.
$|fn(x)|\leq fn (n/(n+1)) = (n/(n+1))^(n+1) \leq 1$
Qui posso applicare la convergenza dominata?
Facendo i calcoli, trovo che il risultato è $0$
io anche sempre ho avuto problemi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo