Domanda sulla parte principale dello sviluppo in serie di Laurent
Ciao a tutti,
sto affrontando le serie di Laurent e avrei delle domande.
Vi riporto lo svolgimento di un esercizio.
Devo scrivere la parte principale dello sviluppo in serie di Laurent di centro $z_0=i$ di $f(z)= 2 ((z^3)/(z^2 +1))$.
Prima di tutto ho calcolato le singolarità, che mi risultano essere $-i,+i$. Posso dire che sono poli di ordine $1$.
Dalla teoria ho la definizione di parte principale, cioè $a_(-p) (1/(z-z_0)^p)......a_(-1) (1/(z-z_0)^1)$
Nel nostro caso, cioè ordine $1$, considererò $a_(-1) (1/(z-z_0)^1)$.
Devo allora calcolare $a_1$. Sempre dalla teoria, so che $Res(f(z),z_0):=a_k$.
Prima di farvi questa domanda, chiarisco che è dovuta ad un abuso di notazione.
Il residuo che vado a calcolare in $z_0$ è il residuo in $i$... cioè il centro? Il fatto che una delle singolarità coincida col centro mi manda un po' in confusione.
Lo chiedo perchè $z_0$ viene usato sia per il centro che per le singolarità..e in un altro esercizio mi trovo che le singolarità sono $0$ e $3$ poli di ordine $1$ e si vuole calcolare la parte principale in $i$.
In quel caso sarà il residuo in $z_0=3$ e poi $z_0=0$ oppure $z_0=i$ ?
Grazie
sto affrontando le serie di Laurent e avrei delle domande.
Vi riporto lo svolgimento di un esercizio.
Devo scrivere la parte principale dello sviluppo in serie di Laurent di centro $z_0=i$ di $f(z)= 2 ((z^3)/(z^2 +1))$.
Prima di tutto ho calcolato le singolarità, che mi risultano essere $-i,+i$. Posso dire che sono poli di ordine $1$.
Dalla teoria ho la definizione di parte principale, cioè $a_(-p) (1/(z-z_0)^p)......a_(-1) (1/(z-z_0)^1)$
Nel nostro caso, cioè ordine $1$, considererò $a_(-1) (1/(z-z_0)^1)$.
Devo allora calcolare $a_1$. Sempre dalla teoria, so che $Res(f(z),z_0):=a_k$.
Prima di farvi questa domanda, chiarisco che è dovuta ad un abuso di notazione.
Il residuo che vado a calcolare in $z_0$ è il residuo in $i$... cioè il centro? Il fatto che una delle singolarità coincida col centro mi manda un po' in confusione.
Lo chiedo perchè $z_0$ viene usato sia per il centro che per le singolarità..e in un altro esercizio mi trovo che le singolarità sono $0$ e $3$ poli di ordine $1$ e si vuole calcolare la parte principale in $i$.
In quel caso sarà il residuo in $z_0=3$ e poi $z_0=0$ oppure $z_0=i$ ?
Grazie
Risposte
"WhiteC":
Prima di tutto ho calcolato le singolarità, che mi risultano essere $-i,+i$. Posso dire che sono poli di ordine $1$.
Dalla teoria ho la definizione di parte principale, cioè $a_(-p) (1/(z-z_0)^p)......a_(-1) (1/(z-z_0)^1)$
Nel nostro caso, cioè ordine $1$, considererò $a_(-1) (1/(z-z_0)^1)$.
Devo allora calcolare $a_1$. Sempre dalla teoria, so che $Res(f(z),z_0):=a_k$.
Prima di farvi questa domanda, chiarisco che è dovuta ad un abuso di notazione.
Il residuo che vado a calcolare in $z_0$ è il residuo in $i$... cioè il centro? Il fatto che una delle singolarità coincida col centro mi manda un po' in confusione.
Lo chiedo perchè $z_0$ viene usato sia per il centro che per le singolarità...
Guarda che un "vero" sviluppo di Laurent si fa proprio centrando lo sviluppo in una singolarità... Altrimenti si ottiene un semplice sviluppo di Taylor.
Questo dovrebbe essere chiarissimo dalla teoria.
"WhiteC":
e in un altro esercizio mi trovo che le singolarità sono $0$ e $3$ poli di ordine $1$ e si vuole calcolare la parte principale in $i$.
In quel caso sarà il residuo in $z_0=3$ e poi $z_0=0$ oppure $z_0=i$ ?
Rifletti sull'esercizio e su quanto sai di teoria.
Le due cose (esercizi e teoria) si tengono insieme strette.
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