Disuguaglianza di Holder
Salve a tutti, la mia problematica riguarda la correttezza o meno di un ragionamento che vado ora ad esporre.
Siano $x=(x_n)_(n\in\mathbb{N})\in l_p$ e $y=(y_n)_(n\in\mathbb{N})\in l_q$ con $p$ e $q$ esponenti coniugati.
Supponiamo che $\sum_{n=1}^{+infty}\abs{x_i}^p=1=\sum_{n=1}^{+infty}\abs{y_i}^q$.
Ora, sappiamo che vale la seguente disuguaglianza $\foralln\in\mathbb{N}$
\[
|x_{n}y_{n}|\le\frac{|x_n|^p}{p}+\frac{|y_n|^q}{q}.
\]
Sui libri di testo, a questo punto della trattazione, si trova la seguente considerazione
\[
\sum_{n\in\mathbb{N}}|x_{n}y_{n}|\le\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{|x_{n}|^p}{p}+\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{|y_{n}|^q}{q}.
\]
E' ovvio che dietro l' espressione precedente è nascosto un passaggio al limite; qui la mia domanda: è corretto il ragionamento che segue?
Fissiamo $k>0$, dunque
\[
\sum_{n=1}^{k}|x_{n}y_{n}|\le\sum_{n=1}^{k}\frac{|x_{n}|^p}{p}+\sum_{n=1}^{k}\frac{|y_{n}|^q}{q}
\]
Ora, tenendo presente che $x\inl_p$ e $y\inl_q$, passando al limite per $k\to+infty$ avremo
\[
\lim_{k}\sum_{n=1}^{k}|x_{n}y_{n}|\le \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1
\]
La successione $\sum_{n=1}^{k}|x_{n}y_{n}|$ è a termini positivi, quindi monotòna crescente. Osserviamo che
\[
0\le\sum_{n=1}^{k}|x_{n}y_{n}|\le1\quad\forall k\in\mathbb{N}.
\]
Dunque, la successione $\sum_{n=1}^{k}|x_{n}y_{n}|$ è limitata, quindi ammette limite finito.
Da ciò che abbiamo appena detto risulta
\[
\lim_{k}\sum_{n=1}^{k}|x_{n}y_{n}|=\sum_{n\in\mathbb{N}}|x_{n}y_{n}|.
\]
Vi ringrazio per il tempo.
Siano $x=(x_n)_(n\in\mathbb{N})\in l_p$ e $y=(y_n)_(n\in\mathbb{N})\in l_q$ con $p$ e $q$ esponenti coniugati.
Supponiamo che $\sum_{n=1}^{+infty}\abs{x_i}^p=1=\sum_{n=1}^{+infty}\abs{y_i}^q$.
Ora, sappiamo che vale la seguente disuguaglianza $\foralln\in\mathbb{N}$
\[
|x_{n}y_{n}|\le\frac{|x_n|^p}{p}+\frac{|y_n|^q}{q}.
\]
Sui libri di testo, a questo punto della trattazione, si trova la seguente considerazione
\[
\sum_{n\in\mathbb{N}}|x_{n}y_{n}|\le\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{|x_{n}|^p}{p}+\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{|y_{n}|^q}{q}.
\]
E' ovvio che dietro l' espressione precedente è nascosto un passaggio al limite; qui la mia domanda: è corretto il ragionamento che segue?
Fissiamo $k>0$, dunque
\[
\sum_{n=1}^{k}|x_{n}y_{n}|\le\sum_{n=1}^{k}\frac{|x_{n}|^p}{p}+\sum_{n=1}^{k}\frac{|y_{n}|^q}{q}
\]
Ora, tenendo presente che $x\inl_p$ e $y\inl_q$, passando al limite per $k\to+infty$ avremo
\[
\lim_{k}\sum_{n=1}^{k}|x_{n}y_{n}|\le \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1
\]
La successione $\sum_{n=1}^{k}|x_{n}y_{n}|$ è a termini positivi, quindi monotòna crescente. Osserviamo che
\[
0\le\sum_{n=1}^{k}|x_{n}y_{n}|\le1\quad\forall k\in\mathbb{N}.
\]
Dunque, la successione $\sum_{n=1}^{k}|x_{n}y_{n}|$ è limitata, quindi ammette limite finito.
Da ciò che abbiamo appena detto risulta
\[
\lim_{k}\sum_{n=1}^{k}|x_{n}y_{n}|=\sum_{n\in\mathbb{N}}|x_{n}y_{n}|.
\]
Vi ringrazio per il tempo.
Risposte
Una volta che hai notato la monotonia devi soltanto osservare che se $a_n<=b_n$ per ogni n,allora $lim_n a_n <= lim_n b_n$
La dimostrazione sarebbe qualcosa di elemenare, tipo: se per assurdo $l=lim_n b_n>lim_n a_n$ allora...
E poi applichi questo risultato alle somme parziali delle due serie
Il tuo ragionamento è sbagliato alla fine:
$lim_n sum_{k=0}^n a_k = sum_{k=0}^{oo} a_n$ è vero per definizione, non devi dimostrarlo
La dimostrazione sarebbe qualcosa di elemenare, tipo: se per assurdo $l=lim_n b_n>lim_n a_n$ allora...
E poi applichi questo risultato alle somme parziali delle due serie
Il tuo ragionamento è sbagliato alla fine:
$lim_n sum_{k=0}^n a_k = sum_{k=0}^{oo} a_n$ è vero per definizione, non devi dimostrarlo
Una serie a termini positivi ha sempre una somma, tuttalpiù infinita, quindi non ci sono particolari problemi di passaggio al limite. Nello specifico, se la serie a membro sinistro della disuguaglianza è infinita, allora lo è pure la somma a membro destro.
Tutto questo, naturalmente, usa in modo essenziale i termini positivi.
Tutto questo, naturalmente, usa in modo essenziale i termini positivi.
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