Disuguaglianza di Cebicêv

[anto_zoolander]

Ciao!

Facendo probabilità con l’utilizzo di teoria della misura mi sono imbattuto nella disuguaglianza di cioppicioppi; rimane valida per qualsiasi spazio di misura?

Sicuramente la cosa dipende essenzialmente dalla disuguaglianza di makrov che sarebbe

$mu(abs(f)geqalpha)leq1/alpha*int_Xabs(f)dmu,forall alpha>0$

Fondamentalmente la dimostrazione che ho fatto è la seguente(considero $fgeq0$ per comodità)

Pongo $alpha>0$ e definisco $I(x)=1_(f^(leftarrow)([alpha,+infty)))(x)$

Da questa posizione si ottiene

$mu(fgeqalpha)=int_(X) Idmuleqint_(X)f/alpha dmu$

Ho pensato che la cosa non dipendesse dal fatto che una delle due quantità possa essere infinita in quanto per definizione stessa di $I$ si ha $0leqalphaI(x)leqf(x)$ il che per monotonia del’integrale Implica la disuguaglianza di destra

L’uguaglianza invece si ottiene notando che

$int_(X)Idmu=0*mu(I=0)+1*mu(I=1)=mu(fgeqalpha)$

Che, essendo $I$ una funzione a gradino, segue dalle proprietà degli integrali di funzioni a gradino.

Is it correct?

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

"anto_zoolander":[...] rimane valida per qualsiasi spazio di misura? [...]

Certo.

"anto_zoolander":[...] Is it correct?

Mi sembra di si'.

[anto_zoolander]

Bene grazie

[ot]l'ho approfondito anche perchè allo stesso tempo ho visto te utilizzarla nel post di 3m0o e la cosa mi ha incuriosito [/ot]