Distribuzione binomiale
Ciao!
il professore di modelli statistici ci ha chiesto di calcolare la densità binomiale passo per passo, avrei bisogno di un check(lo metto qui perché uso tdm)
parto da un generico spazio di probabilità $(Omega,Sigma,P)$, considero un evento $E subset Omega$ e $X(omega)=1_(E)(omega)$ variabile casuale $X:Omega->{0,1}$ la quale ha densità $f(x|theta)=theta^x(1-theta)^(1-x), theta=P(E)$
estendo tutto allo spazio prodotto(considero $n=2$ per semplicità di notazione) $(Omega^2,F^2,P^((2)))$ introducendo le variabili casuali $X_1(omega,u)=X(omega), X_2(omega,u)=X(u)$
1. le variabili $X_1,X_2$ sono indipendenti sullo spazio prodotto
implicitamente si è anche ottenuto che $P^((2))(X_1^(leftarrow)(A))=int_(A)f(x|theta)dx$
data l'indipendenza si ottiene
dove $c$ è la misura del conteggio su ${0,1}$
più in generale l'integrale è $int_(A) theta^(sum_(k=1)^(n)x_k)(1-theta)^(n-sum_(k=1)^(n)x_k)dc(x_1)...dc(x_n)$
integrando su $A={x_1+...+x_n=k}$ si ottiene
il quale è proprio $((n),(k))theta^k (1-theta)^(n-k)$
il professore di modelli statistici ci ha chiesto di calcolare la densità binomiale passo per passo, avrei bisogno di un check(lo metto qui perché uso tdm)
parto da un generico spazio di probabilità $(Omega,Sigma,P)$, considero un evento $E subset Omega$ e $X(omega)=1_(E)(omega)$ variabile casuale $X:Omega->{0,1}$ la quale ha densità $f(x|theta)=theta^x(1-theta)^(1-x), theta=P(E)$
estendo tutto allo spazio prodotto(considero $n=2$ per semplicità di notazione) $(Omega^2,F^2,P^((2)))$ introducendo le variabili casuali $X_1(omega,u)=X(omega), X_2(omega,u)=X(u)$
1. le variabili $X_1,X_2$ sono indipendenti sullo spazio prodotto
implicitamente si è anche ottenuto che $P^((2))(X_1^(leftarrow)(A))=int_(A)f(x|theta)dx$
data l'indipendenza si ottiene
$P^((2))((X_1,X_2)^(leftarrow)(A))=int_(A)theta^(x_1+x_2)(1-theta)^(2-x_1-x_2)dc(x_1)dc(x_2)$
dove $c$ è la misura del conteggio su ${0,1}$
più in generale l'integrale è $int_(A) theta^(sum_(k=1)^(n)x_k)(1-theta)^(n-sum_(k=1)^(n)x_k)dc(x_1)...dc(x_n)$
integrando su $A={x_1+...+x_n=k}$ si ottiene
$theta^k (1-theta)^(n-k)int_({x_1+...+x_n=k})1dc(x_1)...dc(x_n)$
il quale è proprio $((n),(k))theta^k (1-theta)^(n-k)$
Risposte
Cosa significa "più in generale"? Vuoi dire, la probabilità che \((X_1, \ldots, X_n)\in A\)? Ma cos'è \(A\)? Come fa ad essere lo stesso insieme per una sola variabile aleatoria o per \(n\) variabili aleatorie?
Pensavo fosse chiaro dal contesto: nel primo caso è un sottoinsieme di $RR^2$ considerando $(Omega^2,F^2,P^((2))) $ e nel secondo un sottoinsieme di $RR^n$ considerando $(Omega^n, F^n, P^((n))) $
Inoltre si è $P((X_1,...,X_n) in A)$
Avrei dovuto specificare che per "più in generale" consideravo lo spazio prodotto a $n$ dimensioni
Inoltre si è $P((X_1,...,X_n) in A)$
Avrei dovuto specificare che per "più in generale" consideravo lo spazio prodotto a $n$ dimensioni
OK. Si dai, va bene, penso solo dovresti spendere due parole sulla formula più importante di tutte, ovvero
\[
\int_{\{x_1+\ldots+x_n=k\}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!dc(x_1)\ldots dc(x_n)= {n\choose k}.\]
La dai senza dimostrazione, mentre ti dilunghi su fatti tecnici secondari, ma è da lì che viene fuori la distribuzione binomiale.
\[
\int_{\{x_1+\ldots+x_n=k\}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!dc(x_1)\ldots dc(x_n)= {n\choose k}.\]
La dai senza dimostrazione, mentre ti dilunghi su fatti tecnici secondari, ma è da lì che viene fuori la distribuzione binomiale.
cerco di essere sintetito e suppongo che $int_({x_1+...+x_n=k})dc(x_1)...dc(x_n)=abs({x_1+...+x_n=k})$
una breve spiegazione(per $n=2$) potrebbe essere semplicemente che
poiché ogni funzione su un dominio di cardinalità finita è semplice
$A_x$ sarebbe la $y$-sezione.
ora in ${x_1+...+x_n=k}$ ci devono essere esattamente $k$ "uni" e $n-k$ "zeri".
quante sono le soluzioni distinte?
è sufficiente osservare che se $(x_1,...,x_n)$ è una soluzione allora ognuna delle $n!$ combinazioni è ancora soluzione, ma solo $((n),(k))$ sono distinte
una breve spiegazione(per $n=2$) potrebbe essere semplicemente che
$ctimesc(A)=int_({0,1})c(A_x)dc(x)=abs(A_0)+abs(A_1)=abs(A_0 cup A_1)=abs(A)$
poiché ogni funzione su un dominio di cardinalità finita è semplice
$A_x$ sarebbe la $y$-sezione.
ora in ${x_1+...+x_n=k}$ ci devono essere esattamente $k$ "uni" e $n-k$ "zeri".
quante sono le soluzioni distinte?
è sufficiente osservare che se $(x_1,...,x_n)$ è una soluzione allora ognuna delle $n!$ combinazioni è ancora soluzione, ma solo $((n),(k))$ sono distinte
Secondo me anto tu devi imparare a cancellare. Di tutto il tuo post, solo le ultime tre righe sono rilevanti. Se avessi cancellato tutto il resto sarebbe stato molto meglio. Vale anche agli esami e nella vita. Immagina di stare lavorando, hai mille cose da fare, e un collega ti manda un rapporto di 10 pagine di cui solo mezza è importante. Ti tocca leggere tutto e cercare di capire cosa volesse dire. Non penso che ti verrà voglia di offrirgli il caffé.
Nel dettaglio:
Inutile. Avevamo già definito \(c\), perché ripetere?
Oooh, finalmente. Questo è tutto quello che bisognava dire, non di più.
Nel dettaglio:
"anto_zoolander":
cerco di essere sintetito e suppongo che $int_({x_1+...+x_n=k})dc(x_1)...dc(x_n)=abs({x_1+...+x_n=k})$
Inutile. Avevamo già definito \(c\), perché ripetere?
Questo non significa niente, o comunque non si capisce cosa vuoi dire. In ogni caso è inutile.
una breve spiegazione(per $n=2$) potrebbe essere semplicemente che
$ctimesc(A)=int_({0,1})c(A_x)dc(x)=abs(A_0)+abs(A_1)=abs(A_0 cup A_1)=abs(A)$
poiché ogni funzione su un dominio di cardinalità finita è semplice
$A_x$ sarebbe la $y$-sezione.
ora in ${x_1+...+x_n=k}$ ci devono essere esattamente $k$ "uni" e $n-k$ "zeri".
quante sono le soluzioni distinte?
è sufficiente osservare che se $(x_1,...,x_n)$ è una soluzione allora ognuna delle $n!$ combinazioni è ancora soluzione, ma solo $((n),(k))$ sono distinte
Oooh, finalmente. Questo è tutto quello che bisognava dire, non di più.
[ot]
magari fossi davvero così nella realtà[/ot]
magari fossi davvero così nella realtà[/ot]
[ot]sono io che ti ispiro 
Comunque nel secondo tuo quote tentavo di spiegare perché $ctimesctimes...timesc(A)=abs(A)$, ma è andata male[/ot]
Comunque nel secondo tuo quote tentavo di spiegare perché $ctimesctimes...timesc(A)=abs(A)$, ma è andata male
[/ot]
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