Dimostrazione funzione dispari su un insieme invariante per cambi di segno sulla disparità
Sia $f:A->RR$ una funzione $f(x_1,...,x_n)$ dispari in $x_i$ per un certo $iin{0,...,n}$ e sia $A$ invariante per cambi di segno di $x_i$, dimostrare che $\int_Af(x_1,...,x_n)dL^n=0$
$\int_Af(x_1,...,x_n)dL^n=\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n+\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|-x_i>0}}f(x_1,...,x_n)dL^n=\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n-\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|-x_i>0}}-f(x_1,...,x_n)dL^n=\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n-\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|-x_i>0}}f(x_1,...,-x_i,...,x_n)dL^n$
Ora nel secondo integrale siccome $A$ è invariante per segni rispetto a $x_i$ per cui $x_i=-x_i$ (non so se si è capita bene la sostituzione che ho fatto) per cui viene:
$\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n-\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n=0$
Ditemi se può andar bene, grazie.
$\int_Af(x_1,...,x_n)dL^n=\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n+\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|-x_i>0}}f(x_1,...,x_n)dL^n=\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n-\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|-x_i>0}}-f(x_1,...,x_n)dL^n=\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n-\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|-x_i>0}}f(x_1,...,-x_i,...,x_n)dL^n$
Ora nel secondo integrale siccome $A$ è invariante per segni rispetto a $x_i$ per cui $x_i=-x_i$ (non so se si è capita bene la sostituzione che ho fatto) per cui viene:
$\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n-\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n=0$
Ditemi se può andar bene, grazie.
Risposte
Mmmm... si e no.
Si perche' il concetto e' quello.
No perche' nell'ultimo passaggio hai un po' imbrogliato, nel senso che hai implicitamente fatto una sostituzione di variabile da $-x_i$ a un $\bar x_i$ (sottinteso).
Pero' facendo cosi' dal differenziale $dx_i$ (dentro al $dL^n$) salta fuori un segno meno e quindi davanti all'integrale torna il segno piu'.
Manca qualcosa per completare il tutto.
(A meno che tu non sia in un ambito particolare tipo gli integrali di Lebesgue, che conosco poco).
Si perche' il concetto e' quello.
No perche' nell'ultimo passaggio hai un po' imbrogliato, nel senso che hai implicitamente fatto una sostituzione di variabile da $-x_i$ a un $\bar x_i$ (sottinteso).
Pero' facendo cosi' dal differenziale $dx_i$ (dentro al $dL^n$) salta fuori un segno meno e quindi davanti all'integrale torna il segno piu'.
Manca qualcosa per completare il tutto.
(A meno che tu non sia in un ambito particolare tipo gli integrali di Lebesgue, che conosco poco).
"Quinzio":
Mmmm... si e no.
Si perche' il concetto e' quello.
No perche' nell'ultimo passaggio hai un po' imbrogliato, nel senso che hai implicitamente fatto una sostituzione di variabile da $-x_i$ a un $\bar x_i$ (sottinteso).
Pero' facendo cosi' dal differenziale $dx_i$ (dentro al $dL^n$) salta fuori un segno meno e quindi davanti all'integrale torna il segno piu'.
Manca qualcosa per completare il tutto.
(A meno che tu non sia in un ambito particolare tipo gli integrali di Lebesgue, che conosco poco).
Si ho sbagliato a dire, intendevo che non era una sostituzione ma un uguaglianza, nel senso che se considero $x_i'inA$ una coordinata in $x_i$ con $x_i'<0$ allora per simmetria di $A$ rispetto a $x_i$ esiste un $x_i>0$ tale che $-x_i'=x_i$ è quindi vado semplicemente a rinominare una variabile senza fare una sostituzione di quelle che si fanno negli integrale.
Ma davvero bisogna fare tutto questo casino? È una cosa ovvia da dimostrare in una riga al massimo. Non esagerare con il formalismo.
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