Dimostrazione dominio della trasformata di Laplace
Il dominio della trasformata di Laplace è una striscia del piano complesso del tipo $\sigma_1 < Re(s) < \sigma_2$
Dimostrazione
Sia $x(t)$ trasformabile nei punti $s1 = \sigma_1 + j \omega_1$ e $s2 = \sigma_2 + j \omega_2 \in \mathbb{C}$ tali che $\sigma_1 < \sigma_2$
Allora $x(t)e^{-s_1t}$ e $x(t)e^{-s_2t}$ sono sommabili
$\int_-\infty^{+\infty} x(t)e^{-st} = \int_-\infty^{+\infty} x(t)e^{-\sigmat-j\omega t}$
divido in due l'integrale scrivendo in maniera alternativa ma equivalente l'integranda
$\int_0^{+\infty} x(t)e^{-(\sigma-\sigma_1)t-j(\omega-\omega_1)t} e^{-(\sigma_1+j\omega_1)t}dt +
\int_-\infty^0 x(t)e^{-(\sigma-\sigma_2)t-j(\omega-\omega_2)t} e^{-(\sigma_2+j\omega_2)t}dt$
Sapendo che $|\int f| \leq \int |f|$ scrivo
$|\int_-\infty^{+\infty} x(t)e^{-st}| \leq \int_0^{+\infty}|x(t)| e^{-(\sigma-\sigma_1)t} |e^{-s_1 t}| dt + \int_-\infty^0 |x(t)| e^{-(\sigma-\sigma_2)t} |e^{-s_2 t}| dt$
Per $t \rightarrow +\infty$ si ha che il termine $e^{-(\sigma-\sigma_k)t}$ tende a $0$ annullando entrambi gli integrali.
.
La mia domanda è:
In che modo la conclusione di questa dimostrazione sta dimostrando effettivamente la tesi? In che modo sto dimostrando che quell'integrale al primo membro è finito tra $\sigma_1$ e $\sigma_2$? In che modo mi è utile il fatto che se $t$ va all'infinito l'integrale si annulla?
Grazie in anticipo!
Dimostrazione
Sia $x(t)$ trasformabile nei punti $s1 = \sigma_1 + j \omega_1$ e $s2 = \sigma_2 + j \omega_2 \in \mathbb{C}$ tali che $\sigma_1 < \sigma_2$
Allora $x(t)e^{-s_1t}$ e $x(t)e^{-s_2t}$ sono sommabili
$\int_-\infty^{+\infty} x(t)e^{-st} = \int_-\infty^{+\infty} x(t)e^{-\sigmat-j\omega t}$
divido in due l'integrale scrivendo in maniera alternativa ma equivalente l'integranda
$\int_0^{+\infty} x(t)e^{-(\sigma-\sigma_1)t-j(\omega-\omega_1)t} e^{-(\sigma_1+j\omega_1)t}dt +
\int_-\infty^0 x(t)e^{-(\sigma-\sigma_2)t-j(\omega-\omega_2)t} e^{-(\sigma_2+j\omega_2)t}dt$
Sapendo che $|\int f| \leq \int |f|$ scrivo
$|\int_-\infty^{+\infty} x(t)e^{-st}| \leq \int_0^{+\infty}|x(t)| e^{-(\sigma-\sigma_1)t} |e^{-s_1 t}| dt + \int_-\infty^0 |x(t)| e^{-(\sigma-\sigma_2)t} |e^{-s_2 t}| dt$
Per $t \rightarrow +\infty$ si ha che il termine $e^{-(\sigma-\sigma_k)t}$ tende a $0$ annullando entrambi gli integrali.
.
La mia domanda è:
In che modo la conclusione di questa dimostrazione sta dimostrando effettivamente la tesi? In che modo sto dimostrando che quell'integrale al primo membro è finito tra $\sigma_1$ e $\sigma_2$? In che modo mi è utile il fatto che se $t$ va all'infinito l'integrale si annulla?
Grazie in anticipo!
Risposte
Ah, sei il tizio che ha fatto la stessa domanda dall'altra parte. La trasformata di Laplace ha un certo dominio, quello dei numeri complessi che fanno convergere al finito l'integrale di \(f(t)e^{-st}dt\) su \(\mathbb R\), cosicché la funzione che manda \(f\) in \(s\mapsto \int_\mathbb R f(t)e^{-st}dt\) sia ben definita.
Tu arrivi a
\[\left|\int_-\infty^{+\infty} x(t)e^{-st}\right| \leq \int_0^{+\infty}|x(t)| e^{-(\sigma-\sigma_1)t} |e^{-s_1 t}| dt + \int_{-\infty}^0 |x(t)| e^{-(\sigma-\sigma_2)t} |e^{-s_2 t}| dt\] e ora devi decidere per quali valori di $\sigma$ questi integrali esistono finiti (chiaramente le parti immaginarie di $s$ non svolgono alcun ruolo). Del resto, l'integrale \(\int_0^\infty e^{at}dt\) fa \(-1/a\) se e solo se $a$ è negativo, ed è infinito altrimenti; idem, per \(\int_{-\infty}^0 e^{at}dt\): è infinito se e solo se $a$ è non-positivo. Questo, ti dà dei vincoli su $\sigma$: deve stare tra $\sigma_1$ e $\sigma_2$.
Tu arrivi a
\[\left|\int_-\infty^{+\infty} x(t)e^{-st}\right| \leq \int_0^{+\infty}|x(t)| e^{-(\sigma-\sigma_1)t} |e^{-s_1 t}| dt + \int_{-\infty}^0 |x(t)| e^{-(\sigma-\sigma_2)t} |e^{-s_2 t}| dt\] e ora devi decidere per quali valori di $\sigma$ questi integrali esistono finiti (chiaramente le parti immaginarie di $s$ non svolgono alcun ruolo). Del resto, l'integrale \(\int_0^\infty e^{at}dt\) fa \(-1/a\) se e solo se $a$ è negativo, ed è infinito altrimenti; idem, per \(\int_{-\infty}^0 e^{at}dt\): è infinito se e solo se $a$ è non-positivo. Questo, ti dà dei vincoli su $\sigma$: deve stare tra $\sigma_1$ e $\sigma_2$.
"solaàl":
Questo, ti dà dei vincoli su $\sigma$: deve stare tra $\sigma_1$ e $\sigma_2$.
Chiarissimo!
Quindi l'osservazione del docente riguardo la tendenza a zero dei due integrali non serve a nulla?
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