Dimostrazione di proprietà dei polinomi di Legendre e associati

[cos1950]

Salve
è possibile in modo relativamente semplice dimostrare che

$d/dx[(1 - x^2)^m d^m/dx^mPn(x)] = -(n+m)(n-m+1)(1 - x^2)^(m-1)d^(m-1)/dx^(m-1)Pn(x)$ ?

dove Pn(x) è il polinomio di Legendre

$1/(2^n n!) d^n/dx^n (x^2 - 1)^n$

[cos1950]

In effetti partendo dall'equazione associata di Legendre ed elaborandola in modo da lasciare come funzione da determinare la serie (che poi andrà troncata a polinomio), si ottiene

$(1-x^2) d^2/dx^2 t(x) -2 (m+1)xd/dxt(x) + (lambda - m -m^2) t(x) = 0$

D'altra parte se elaboriamo, derivando il prodotto, $d/dx[(1 - x^2)^m d^m/dx^mPn(x)]$ otteniamo

$d/dx[(1 - x^2)^m d^m/dx^mPn(x)] = m(1 - x^2)^(m-1) (-2x) d^m/dx^mPn(x) + (1-x^2)^m d^(m+1)/dx^(m+1)Pn(x)
$
Cioè sviluppando ed ordinando il secondo membro
$(1-x^2)^m d^(m+1)/dx^(m+1)Pn(x) - 2mx(1-x^2)^(m-1)d^m/dx^mPn(x)$ che si può scrivere

$(1-x^2)^m d^2/dx^2 [d^(m-1)/dx^(m-1)Pn(x)] - 2mx(1-x^2)^(m-1)d/dxd^(m-1)/dx^(m-1)Pn(x)$

e ponendo $ t(x) = d^(m-1)/dx^(m-1)Pn(x)$ si ha

$(1-x^2)^m d^2/dx^2t(x) - 2mx(1-x^2)^(m-1)d/dxt(x) = (1-x^2)^(m-1)[(1-x^2)d^2/dx^2t(x) - 2mxd/dxt(x)]$

dove gli ultimi due termini in parentesi quadra sono pressochè gli stessi primi due dell'equazione di partenza, quindi si può pensare di porre

$(1-x^2)^(m-1)[(1-x^2)d^2/dx^2t(x) - 2mxd/dxt(x)] = (1-x^2)^(m-1)[- (lambda - m -m^2) t(x)]$

dove $lambda = n(n-1) $

e quindi, sostituendo $lambda$ si ottiene

$- (n^2 - n - m -m^2) = -[n^2 - m^2 - (n + m)] = -(n + m)(n - m) + (n + m) = - (n + m)(n - m + 1)$

appunto

$(1-x^2)^(m-1)[(1-x^2)d^2/dx^2t(x) - 2mxd/dxt(x)] = (1-x^2)^(m-1)[- (n + m)(n - m + 1) t(x)]$


E così ci saremmo... ma è legittima o sostenibile quella "approssimazione" per il coefficiente della derivata prima?

[cos1950]

Non va. C'è un errore di cambiamento di segno

[dissonance]

Avevo notato questo post ma purtroppo non so bene cosa dire. Tu sei sicuro che la formula da dimostrare sia corretta? Hai fatto qualche test numerico, o qualcosa del genere? Queste cose in genere si fanno usando la funzione generatrice.

[dissonance]

"cos1950":Salve
è possibile in modo relativamente semplice dimostrare che

$d/dx[(1 - x^2)^m d^m/dx^mPn(x)] = -(n+m)(n-m+1)(1 - x^2)^(m-1)d^(m-1)/dx^(m-1)Pn(x)$ ?

No; é falso. Il polinomio a membro sinistro ha grado $m+n$, quello a membro destro ha grado $m+n-1$.