Dimostrare una proprietà della Delta di Dirac

[mklplo751]

Salve,se non vi dispiace potreste aiutarmi a dimostrare che:
$ delta(x)f(x)=delta(x)f(0) $
dove $delta(x)$ è la delta di Dirac

[gugo82]

Tu che dici?

[mklplo751]

Sì,credo

[gugo82]

Ma anche no.
Non hai mica finito...

[mklplo751]

Allora non so come continuare

[gugo82]

Pensaci.

[mklplo751]

Usando il tuo ultimo suggerimento trovo:
$ { ( f(0)phi(0)=f(0)),(f(0)phi(0)=):} $
e quindi
$ f(0) = = $
ma da qui non capisco come ritrovarmi $delta(x)f(0)$

[vict85]

Devi dimostrare il seguente:

Per ogni \(\displaystyle f\in C(\mathbb{R}) \), le distribuzioni prodotto \(\displaystyle f\delta \) e \(\displaystyle f(0)\delta \) sono uguali.

Nota: Due distribuzioni \(f\) e \(g\) sono uguali se per ogni \(\phi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R})\), si ha \(\langle f, \phi\rangle = \langle g, \phi\rangle\).

Quindi devi prendere un \(\phi\) qualsiasi e dimostrare che quelle due distribuzioni sono la stessa.

[mklplo751]

Grazie,se non sbaglio $phi$ è una funzione test,purtroppo non ne conosca nessuna(so che deve essere nulla al di fuori di un intervallo limitato)

[vict85]

Non devi conoscerne qualcuna, devi solamente considerarne una generica ed usare ciò che già sai sulla distribuzione di Dirac e la distribuzione prodotto.

[mklplo751]

Allora,se non sbaglio(anche se credo di aver fatto qualche errore)
$ =- =-f''(0)phi'(0) $
e
$ =- =-f''(0)phi'(0) $
quindi
$ = $
e alla fine
fdelta=f(0)delta

[gugo82]

Non capisco la logica.

[mklplo751]

diciamo che l'ho visto come un integrale è ho applicato il metodo di integrazione per parti

[gugo82]

Perché?
Ti ho esplicitamente detto che la notazione con l'integrale è un abuso (ed è anche inutile in questo caso).

[mklplo751]

Ho fatto così,perchè non sapevo come procedere,infatti ho scritto che non pensavo fosse giusta,ma piu di questo non so fare

[gugo82]

Perché non calcolare esplicitamente \(\langle f(0)\delta, \phi\rangle\) usando le definizioni?

[mklplo751]

Grazie.
Effettivamente adesso che ci penso,così facendo troverei proprio il valore cercato,dimostrando che le due espressioni sono uguali