Dimostrare la completezza di uno spazio
Salve, ho il seguente esercizio
"Dimostrare che lo spazio delle funzioni $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{C} $ continue e limitate, dotato della norma infinito, è completo"
È il primo esercizio di questo tipo che faccio e ho alcune perplessità. Innanzitutto so che ci sono due vie per mostrare la completezza. O mostro che ogni successione di Cauchy converge in norma oppure uso la caratterizzazione e quindi mostro che ogni successione assolutamente convergente è convergente. Il problema sta nel fatto che non riesco ad usare nessuna di queste due cose, qualcuno saprebbe illuminarmi?
"Dimostrare che lo spazio delle funzioni $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{C} $ continue e limitate, dotato della norma infinito, è completo"
È il primo esercizio di questo tipo che faccio e ho alcune perplessità. Innanzitutto so che ci sono due vie per mostrare la completezza. O mostro che ogni successione di Cauchy converge in norma oppure uso la caratterizzazione e quindi mostro che ogni successione assolutamente convergente è convergente. Il problema sta nel fatto che non riesco ad usare nessuna di queste due cose, qualcuno saprebbe illuminarmi?
Risposte
Supponi che \( f_n \) successione di funzioni continue e limitate sia di Cauchy nella norma infinito. Hai bisogno di un "candidato" limite. Come lo trovi?
Hint.
Hint.
Non so se può essere corretto, provo a riportarti il mio ragionamento.
Prendo ${f_n}$ successione di Cauchy quello che devo fare è trovare una funzione f a cui la successione converga in norma e che sia contenuta nel mio spazio X (spazio delle funzioni continue e limitate).
Indico con $f$ il limite puntuale della mia successione di Cauchy, a questo punto devo fare due cose:
1- mostrare che la convergenza è in norma. Per fare questo devo valutare $||f_n-f||$ e mostrare che è minore di $ \epsilon$
$||f_n-f||=||f_n-f_m+f_m-f||≤||f_n-f_m||+||f_m-f||< \epsilon$
Dove nell'ultima disuguaglianza si usa il fatto che sia di Cauchy e che converga puntualmente.
2-mostrare che f è in X. Per fare questo devo mostrare che è limitata e continua.
Per la limitatezza noto che f è stato definito come il limite di funzioni limitate perciò non può che essere limitato (non so se va bene come argomento) mentre per la continuità ancora non saprei
Prendo ${f_n}$ successione di Cauchy quello che devo fare è trovare una funzione f a cui la successione converga in norma e che sia contenuta nel mio spazio X (spazio delle funzioni continue e limitate).
Indico con $f$ il limite puntuale della mia successione di Cauchy, a questo punto devo fare due cose:
1- mostrare che la convergenza è in norma. Per fare questo devo valutare $||f_n-f||$ e mostrare che è minore di $ \epsilon$
$||f_n-f||=||f_n-f_m+f_m-f||≤||f_n-f_m||+||f_m-f||< \epsilon$
Dove nell'ultima disuguaglianza si usa il fatto che sia di Cauchy e che converga puntualmente.
2-mostrare che f è in X. Per fare questo devo mostrare che è limitata e continua.
Per la limitatezza noto che f è stato definito come il limite di funzioni limitate perciò non può che essere limitato (non so se va bene come argomento) mentre per la continuità ancora non saprei
Convergenza uniforme... Roba da Analisi II.
"gugo82":
Convergenza uniforme... Roba da Analisi II.
Forse ho capito il tuo gentile suggerimento. Allora avendo mostrato la convergenza in norma infinito ho che posso dire che c'e' convergenza uniforme tra la successione ${f_n}$ e la funzione $f$. A questo punto, quando ho convergenza uniforme possono dire che il limite di funzioni limitate e continue e' limitato e continuo.
Correggimi se sbaglio...
"Zstar":
[...]
$||f_n-f||=||f_n-f_m+f_m-f||≤||f_n-f_m||+||f_m-f||< \epsilon$
Dove nell'ultima disuguaglianza si usa il fatto che sia di Cauchy e che converga puntualmente. [...]
Qui c'è già un errore. Stai cercando di dimostrare A usando A. \( \|f_m - f\|_\infty < \epsilon / 2\) è esattamente quello che stai cercando di dimostrare.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="Zstar"][...]
$||f_n-f||=||f_n-f_m+f_m-f||≤||f_n-f_m||+||f_m-f||< \epsilon$
Dove nell'ultima disuguaglianza si usa il fatto che sia di Cauchy e che converga puntualmente. [...]
Qui c'è già un errore. Stai cercando di dimostrare A usando A. \( \|f_m - f\|_\infty < \epsilon / 2\) è esattamente quello che stai cercando di dimostrare.[/quote]
E' vero..
Non ti do altri suggerimenti, prova a pensarci un po'.
"Zstar":
[quote="gugo82"]Convergenza uniforme... Roba da Analisi II.
Forse ho capito il tuo gentile suggerimento. Allora avendo mostrato la convergenza in norma infinito ho che posso dire che c'e' convergenza uniforme tra la successione ${f_n}$ e la funzione $f$. A questo punto, quando ho convergenza uniforme possono dire che il limite di funzioni limitate e continue e' limitato e continuo.
Correggimi se sbaglio...[/quote]
Troppi giri di parole su una cosa banale.
Dato che per \(f,g \in C_b([0,+\infty[)\)[nota]Il simbolo $C_b(X)$ denota la classe delle funzioni -reali o complesse- definite in $X$ ed ivi continue e limitate (bounded in inglese, e ciò spiega il pedice $b$).[/nota] hai per definizione:
\[
\| f - g\|_\infty := \sup_{x \geq 0} |f(x) - g(x)|
\]
è chiaro che il classico Criterio di Cauchy per la Convergenza Uniforme lo puoi riscrivere:
La successione $(f_n) sube C_b("["0,+oo"[")$ converge uniformemente in $[0,+oo[$ se e solo se:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad n,m>\nu \ \Rightarrow\ \| f_n - f_m\|_\infty < \varepsilon
\]
ed il Teorema sulla Continuità del Limite Uniforme:
Il limite di una successione di funzioni continue uniformemente convergente è una funzione continua.
lo puoi interpretare come un risultato di completezza di $C_b$ rispetto a \(\|\cdot\|_\infty\).
Pensaci.
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