Dimostrare integrale tra -inf e inf sia minore di inf

[MrChopin]

Salve a tutti ho un esercizio in cui mi sono bloccato ho usato 3 strade una formale una più legata ai calcoli e una più o meno ragionando sulla tipologia di funzione.
Devo dimostrare che:

$ int_(-oo)^(oo) |(sen(4t))/(pit)| dx
Quello che ho fatto è questo:

Metodo formale

$1<=sen(4t)<=1 rArr |sen(4t)|<=1 $

$ rArr int_(-oo)^(oo) |(sen(4t))/(pit)| dx = int_(-oo)^(oo) |1/(pit)| dx$

Ma poi mi uscirebbe logaritmo di infinito ma ho provato a considerare $ 1/(pit)
Metodo "calcoloso"

L'unica cosa che ho pensato e di utilizzare il calcolo dei residui e calcolarlo e dimostrarlo de facto che è limitato, Anche se ho qualche dubbio per la presenza del modulo.

$ int_(-oo)^(oo) |(sen(4t))/(pit)| dx = Imm( int_(-oo)^(oo) |(e^(jt))/(pit)| dx) $

$ lim_(x->0)|(e^(jt))/(pit)t| dx= lim_(x->0)|(e^(jt))/(pi)|=1/pi $

$ int_(-oo)^(oo) |(sen(4t))/(pit)| dx = 0 $ Non essendoci termini immaginari dovrei aver dimostrato l'ipotesi.

Metodo "più o meno"

$|(sen(4t))/(pit)|$ assomoglia ad una $ sinc(4t) $ la sinc dovrebbe essere limitata con massimo valore a 1 quindi:
(sen(4t))/(pit)=(4sen(4pit))/(4pit)=sinc(4t)

Spero di non aver inventato una nuova matematica :
$ int_(-oo)^(oo) |(sen(4t))/(pit)| dx=int_(-oo)^(oo) |sinc(4t)| dx <1

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Risposte

Reyzet

16 giu 2020, 20:26

Dubito che la limitatezza implichi la convergenza dell'integrale (esempio: $1/|t|$ per $|t|>=1$ e 1 altrove), e difatto hai maggiorato quella cosa con 1 ma ci devi mettere l'integrale, non scompare mica quando maggiori il seno cardinale, quindi non ci combini nulla.
Comunque se non ricordo male si verifica che $\int_{\mathbb{R}} |sin(t)/t|dt=+\infty$ e quindi anche il tuo è infinito (quello che è finito è l'integrale della funzione senza valore assoluto, vale $π$ o giù di lì, si fa coi residui volendo e per altro questo fornisce una differenza tra integrabilità impropria e secondo lebesgue)

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gugo82

16 giu 2020, 23:39

@ MrChopin: Puoi affannarti quanto vuoi, ma stai cercando di dimostrare una cosa falsa.
Ergo, nessuno dei tre “metodi” dimostra alcunché.

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MrChopin

17 giu 2020, 14:26

"gugo82":@ MrChopin: Puoi affannarti quanto vuoi, ma stai cercando di dimostrare una cosa falsa.
Ergo, nessuno dei tre “metodi” dimostra alcunché.

Che bello ho buttato un pomeriggio

Devo scriverci due righe contate secondo te cosa posso scrivere più che altro al livello concettuale e quindi senza enunciare teoremi ecc.. a questa domanda?

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pilloeffe

17 giu 2020, 22:38

Ciao MrChopin,

Non so se è quello che intendi, ma potresti scrivere che si ha:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} (sin(4t))/(\pi t) \text{d}t = 1 \implies \int_{-\infty}^{+\infty} (sin(4t))/t \text{d}t = \pi $

Siccome poi la funzione integranda è pari in quanto rapporto fra funzione dispari, si ha anche

$ 2 \int_{0}^{+\infty} (sin(4t))/(\pi t) \text{d}t = 1 \implies \int_{0}^{+\infty} (sin(4t))/t \text{d}t = \pi/2 $

Passando all'integrale indefinito si ha:

$ \int (sin(4t))/(\pi t) \text{d}t = (\text{Si}(4 t))/\pi + c $

ove $ \text{Si}(x) $ è la funzione seno integrale.
Poi potresti generalizzare il discorso ad $n \ne 0 $ invece di $4$...

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MrChopin

19 giu 2020, 09:11

"pilloeffe":Ciao MrChopin,

Non so se è quello che intendi, ma potresti scrivere che si ha:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} (sin(4t))/(\pi t) \text{d}t = 1 \implies \int_{-\infty}^{+\infty} (sin(4t))/t \text{d}t = \pi $

Siccome poi la funzione integranda è pari in quanto rapporto fra funzione dispari, si ha anche

$ 2 \int_{0}^{+\infty} (sin(4t))/(\pi t) \text{d}t = 1 \implies \int_{0}^{+\infty} (sin(4t))/t \text{d}t = \pi/2 $

Passando all'integrale indefinito si ha:

$ \int (sin(4t))/(\pi t) \text{d}t = (\text{Si}(4 t))/\pi + c $

ove $ \text{Si}(x) $ è la funzione seno integrale.
Poi potresti generalizzare il discorso ad $n \ne 0 $ invece di $4$...

Penso sia troppo complessa come risposta puoi consigliarmi qualcosa di più intuitivo e grafico? Devono essere proprio 2 righe contate

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axpgn

19 giu 2020, 10:34

Potresti sempre scrivere:
"La proposizione è falsa perché me lo ha detto gugo82. Giuro!"
E poi gli metti il link citato da gugo82

Cordialmente, Alex

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[Reyzet]

Dubito che la limitatezza implichi la convergenza dell'integrale (esempio: $1/|t|$ per $|t|>=1$ e 1 altrove), e difatto hai maggiorato quella cosa con 1 ma ci devi mettere l'integrale, non scompare mica quando maggiori il seno cardinale, quindi non ci combini nulla.
Comunque se non ricordo male si verifica che $\int_{\mathbb{R}} |sin(t)/t|dt=+\infty$ e quindi anche il tuo è infinito (quello che è finito è l'integrale della funzione senza valore assoluto, vale $π$ o giù di lì, si fa coi residui volendo e per altro questo fornisce una differenza tra integrabilità impropria e secondo lebesgue)

[gugo82]

@ MrChopin: Puoi affannarti quanto vuoi, ma stai cercando di dimostrare una cosa falsa.
Ergo, nessuno dei tre “metodi” dimostra alcunché.

[MrChopin]

"gugo82":@ MrChopin: Puoi affannarti quanto vuoi, ma stai cercando di dimostrare una cosa falsa.
Ergo, nessuno dei tre “metodi” dimostra alcunché.

Che bello ho buttato un pomeriggio

Devo scriverci due righe contate secondo te cosa posso scrivere più che altro al livello concettuale e quindi senza enunciare teoremi ecc.. a questa domanda?

[pilloeffe]

Ciao MrChopin,

Non so se è quello che intendi, ma potresti scrivere che si ha:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} (sin(4t))/(\pi t) \text{d}t = 1 \implies \int_{-\infty}^{+\infty} (sin(4t))/t \text{d}t = \pi $

Siccome poi la funzione integranda è pari in quanto rapporto fra funzione dispari, si ha anche

$ 2 \int_{0}^{+\infty} (sin(4t))/(\pi t) \text{d}t = 1 \implies \int_{0}^{+\infty} (sin(4t))/t \text{d}t = \pi/2 $

Passando all'integrale indefinito si ha:

$ \int (sin(4t))/(\pi t) \text{d}t = (\text{Si}(4 t))/\pi + c $

ove $ \text{Si}(x) $ è la funzione seno integrale.
Poi potresti generalizzare il discorso ad $n \ne 0 $ invece di $4$...

[MrChopin]

"pilloeffe":Ciao MrChopin,

Non so se è quello che intendi, ma potresti scrivere che si ha:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} (sin(4t))/(\pi t) \text{d}t = 1 \implies \int_{-\infty}^{+\infty} (sin(4t))/t \text{d}t = \pi $

Siccome poi la funzione integranda è pari in quanto rapporto fra funzione dispari, si ha anche

$ 2 \int_{0}^{+\infty} (sin(4t))/(\pi t) \text{d}t = 1 \implies \int_{0}^{+\infty} (sin(4t))/t \text{d}t = \pi/2 $

Passando all'integrale indefinito si ha:

$ \int (sin(4t))/(\pi t) \text{d}t = (\text{Si}(4 t))/\pi + c $

ove $ \text{Si}(x) $ è la funzione seno integrale.
Poi potresti generalizzare il discorso ad $n \ne 0 $ invece di $4$...

Penso sia troppo complessa come risposta puoi consigliarmi qualcosa di più intuitivo e grafico? Devono essere proprio 2 righe contate

[axpgn]

Potresti sempre scrivere:
"La proposizione è falsa perché me lo ha detto gugo82. Giuro!"
E poi gli metti il link citato da gugo82

Cordialmente, Alex