Dimostrare compattezza di un operatore
Ciao a tutti ho un esercizio da proporvi, ho provato con una dimostrazione ma mi sembra troppo banale e volevo sapere se sbaglio qualcosa, e se ho sbagliato qualcosa come dovrei procedere.
Si tratta di dimostrare che un operatore è compatto.
Allora l'esercizio è questo:
Sia $T: l^2 (\mathbb{N}) \rightarrow l^2 (\mathbb{N})$ definito come segue
$$ (Tf)_k = \frac{f_{k+1}}{k+1} $$
Dimostrare che è continuo è facile e l'ho provato. La compattezza ho provato a dimostrarla usando questo lemma:
$T$ compatto se e solo se $f^n$ converge debole a $f$ implica che $Tf^n$ converge forte a $Tf$.
Sia allora $f^n$ una successione in $l^2 (\mathbb{N})$ che converge debolmente a $f$. Allora per definizione di convergenza debole significa che per ogni $g \in l^2 (\mathbb{N})$ si avrà che $(f^n,g)_{l^2 (\mathbb{N})} \rightarrow (f,g)_{l^2 (\mathbb{N})}$ cioè che $(f^n - f,g)_{l^2 (\mathbb{N})} \rightarrow 0$.
Per comodità ragiono sulla norma al quadrato, e quindi avrò che
$$ \sum_{k=0}^{\infty} {|(f^n)_k - (f)_k| |g_k|} = 0$$
Adesso devo dimostrare sapendo questo che $Tf^n \rightarrow Tf$ in norma.
$$ ||Tf^n - Tf||_{l^2 (\mathbb{N})} = \sum_{k=0}^{\infty} {(|(Tf^n)_k - (Tf)_k|} = \sum_{k=0}^{\infty} {\frac{1}{k+1} | (f^n)_{k+1} - f_{k+1}|} =0$$
Infatti l'ipotesi $ \sum_{k=0}^{\infty} {|(f^n)_k - (f)_k| |g_k|} = 0$ vale per ogni $g$ in $l^2 (\mathbb{N})$, e quindi vale anche per $g_k=\frac{1}{k+1}$ che ovviamente appartiene a $l^2 (\mathbb{N})$ perché la serie al quadrato converge.
Va bene oppure ho sbagliato qualcosa?
Si tratta di dimostrare che un operatore è compatto.
Allora l'esercizio è questo:
Sia $T: l^2 (\mathbb{N}) \rightarrow l^2 (\mathbb{N})$ definito come segue
$$ (Tf)_k = \frac{f_{k+1}}{k+1} $$
Dimostrare che è continuo è facile e l'ho provato. La compattezza ho provato a dimostrarla usando questo lemma:
$T$ compatto se e solo se $f^n$ converge debole a $f$ implica che $Tf^n$ converge forte a $Tf$.
Sia allora $f^n$ una successione in $l^2 (\mathbb{N})$ che converge debolmente a $f$. Allora per definizione di convergenza debole significa che per ogni $g \in l^2 (\mathbb{N})$ si avrà che $(f^n,g)_{l^2 (\mathbb{N})} \rightarrow (f,g)_{l^2 (\mathbb{N})}$ cioè che $(f^n - f,g)_{l^2 (\mathbb{N})} \rightarrow 0$.
Per comodità ragiono sulla norma al quadrato, e quindi avrò che
$$ \sum_{k=0}^{\infty} {|(f^n)_k - (f)_k| |g_k|} = 0$$
Adesso devo dimostrare sapendo questo che $Tf^n \rightarrow Tf$ in norma.
$$ ||Tf^n - Tf||_{l^2 (\mathbb{N})} = \sum_{k=0}^{\infty} {(|(Tf^n)_k - (Tf)_k|} = \sum_{k=0}^{\infty} {\frac{1}{k+1} | (f^n)_{k+1} - f_{k+1}|} =0$$
Infatti l'ipotesi $ \sum_{k=0}^{\infty} {|(f^n)_k - (f)_k| |g_k|} = 0$ vale per ogni $g$ in $l^2 (\mathbb{N})$, e quindi vale anche per $g_k=\frac{1}{k+1}$ che ovviamente appartiene a $l^2 (\mathbb{N})$ perché la serie al quadrato converge.
Va bene oppure ho sbagliato qualcosa?
Risposte
"tranesend":Fino qua va bene.
Ciao a tutti ho un esercizio da proporvi, ho provato con una dimostrazione ma mi sembra troppo banale e volevo sapere se sbaglio qualcosa, e se ho sbagliato qualcosa come dovrei procedere.
Si tratta di dimostrare che un operatore è compatto.
Allora l'esercizio è questo:
Sia $T: l^2 (\mathbb{N}) \rightarrow l^2 (\mathbb{N})$ definito come segue
$$ (Tf)_k = \frac{f_{k+1}}{k+1} $$
Dimostrare che è continuo è facile e l'ho provato. La compattezza ho provato a dimostrarla usando questo lemma:
$T$ compatto se e solo se $f^n$ converge debole a $f$ implica che $Tf^n$ converge forte a $Tf$.
Sia allora $f^n$ una successione in $l^2 (\mathbb{N})$ che converge debolmente a $f$. Allora per definizione di convergenza debole significa che per ogni $g \in l^2 (\mathbb{N})$ si avrà che $(f^n,g)_{l^2 (\mathbb{N})} \rightarrow (f,g)_{l^2 (\mathbb{N})}$ cioè che $(f^n - f,g)_{l^2 (\mathbb{N})} \rightarrow 0$.
Per comodità ragiono sulla norma al quadrato, e quindi avrò che
$$ \sum_{k=0}^{\infty} {|(f^n)_k - (f)_k| |g_k|} = 0$$
Da qui in poi è sbagliato. La convergenza debole è questo (ammesso che parliamo di spazi reali, se sono complessi devi metterci un coniugato):
\[
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^\infty (f^n_k-f_k)g_k=0.\]
Non ci puoi mettere un valore assoluto dentro.
"dissonance":Fino qua va bene.
[quote="tranesend"]Ciao a tutti ho un esercizio da proporvi, ho provato con una dimostrazione ma mi sembra troppo banale e volevo sapere se sbaglio qualcosa, e se ho sbagliato qualcosa come dovrei procedere.
Si tratta di dimostrare che un operatore è compatto.
Allora l'esercizio è questo:
Sia $T: l^2 (\mathbb{N}) \rightarrow l^2 (\mathbb{N})$ definito come segue
$$ (Tf)_k = \frac{f_{k+1}}{k+1} $$
Dimostrare che è continuo è facile e l'ho provato. La compattezza ho provato a dimostrarla usando questo lemma:
$T$ compatto se e solo se $f^n$ converge debole a $f$ implica che $Tf^n$ converge forte a $Tf$.
Sia allora $f^n$ una successione in $l^2 (\mathbb{N})$ che converge debolmente a $f$. Allora per definizione di convergenza debole significa che per ogni $g \in l^2 (\mathbb{N})$ si avrà che $(f^n,g)_{l^2 (\mathbb{N})} \rightarrow (f,g)_{l^2 (\mathbb{N})}$ cioè che $(f^n - f,g)_{l^2 (\mathbb{N})} \rightarrow 0$.
Per comodità ragiono sulla norma al quadrato, e quindi avrò che
$$ \sum_{k=0}^{\infty} {|(f^n)_k - (f)_k| |g_k|} = 0$$
Da qui in poi è sbagliato. La convergenza debole è questo (ammesso che parliamo di spazi reali, se sono complessi devi metterci un coniugato):
\[
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^\infty (f^n_k-f_k)g_k=0.\]
Non ci puoi mettere un valore assoluto dentro.[/quote]
Hai ragione cavolo. Alla conclusione ci posso arrivare lo stesso come ho fatto, o come posso arrivare alla tesi?
Purtroppo no. Tra l'altro, vedo adesso che stai anche ignorando i quadrati nella norma \(\ell^2\). Questo che scrivi qui, in particolare, è proprio sbagliato ed è irrecuperabile:
Prova ad assumere che \(f^n\rightharpoonup 0\) in \(\ell^2\) e cerca di dimostrare che \(\| Tf^n\|_{\ell^2}\to 0\), questo è sufficiente. Non è un grande suggerimento, lo so
$$ ||Tf^n - Tf||_{l^2 (\mathbb{N})} = \sum_{k=0}^{\infty} {(|(Tf^n)_k - (Tf)_k|} = \sum_{k=0}^{\infty} {\frac{1}{k+1} | (f^n)_{k+1} - f_{k+1}|} =0$$
Prova ad assumere che \(f^n\rightharpoonup 0\) in \(\ell^2\) e cerca di dimostrare che \(\| Tf^n\|_{\ell^2}\to 0\), questo è sufficiente. Non è un grande suggerimento, lo so
"dissonance":
Purtroppo no. Tra l'altro, vedo adesso che stai anche ignorando i quadrati nella norma \(\ell^2\). Questo che scrivi qui, in particolare, è proprio sbagliato ed è irrecuperabile:
$$ ||Tf^n - Tf||_{l^2 (\mathbb{N})} = \sum_{k=0}^{\infty} {(|(Tf^n)_k - (Tf)_k|} = \sum_{k=0}^{\infty} {\frac{1}{k+1} | (f^n)_{k+1} - f_{k+1}|} =0$$
Prova ad assumere che \(f^n\rightharpoonup 0\) in \(\ell^2\) e cerca di dimostrare che \(\| Tf^n\|_{\ell^2}\to 0\), questo è sufficiente. Non è un grande suggerimento, lo so
Si ho notato infatti alla fine. Ci provo allora, non ora che è tardi.
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