Dimostrare che un operatore e' non compatto
Ciao a tutti,
sto studiando gli operatori compatti e ho provato a svolgere il seguente esercizio: Sia $H=l^2(mathbb(N))$. Studiare la compattezza dell'operatore A cosi' definito
$ (Au)_k= sum_(h\in mathbb(N)) e^(-abs(k-h)) u_h $
A me l'operatore sembra non compatto, percio' ho provato a procedere nel seguente modo: suppongo per assurdo che A sia compatto. Allora vale il teorema " Se A e' compatto, allora A trasforma successioni debolmente convergenti in successioni fortemente convergenti" e vedo se l'operatore A verifica questa implicazione.
Prendo come successione debolmente convergente la base canonica di $l^2(mathbb(N))$ che converge a zero debolmente e vedo che, poiche' il vettore $e_j$ ha 1 nella posizione j e zero in tutte le altre,
$ (Ae_j)_k=e^-abs(k-j) $
e di conseguenza
$ || Ae_j|| ^2= sum_(k\in mathbb(N)) e^(-2abs(k-j)) $
A questo punto mi blocco perche' non riesco a far vedere che per $ j->+oo $ la norma non converge a zero. In qualsiasi modo io pensi di fare una stima ho comunque somme che vanno a zero
Mi aiutate? Grazie mille
sto studiando gli operatori compatti e ho provato a svolgere il seguente esercizio: Sia $H=l^2(mathbb(N))$. Studiare la compattezza dell'operatore A cosi' definito
$ (Au)_k= sum_(h\in mathbb(N)) e^(-abs(k-h)) u_h $
A me l'operatore sembra non compatto, percio' ho provato a procedere nel seguente modo: suppongo per assurdo che A sia compatto. Allora vale il teorema " Se A e' compatto, allora A trasforma successioni debolmente convergenti in successioni fortemente convergenti" e vedo se l'operatore A verifica questa implicazione.
Prendo come successione debolmente convergente la base canonica di $l^2(mathbb(N))$ che converge a zero debolmente e vedo che, poiche' il vettore $e_j$ ha 1 nella posizione j e zero in tutte le altre,
$ (Ae_j)_k=e^-abs(k-j) $
e di conseguenza
$ || Ae_j|| ^2= sum_(k\in mathbb(N)) e^(-2abs(k-j)) $
A questo punto mi blocco perche' non riesco a far vedere che per $ j->+oo $ la norma non converge a zero. In qualsiasi modo io pensi di fare una stima ho comunque somme che vanno a zero
Mi aiutate? Grazie mille
Risposte
Usa la disuguaglianza
\[
\sum_{k\in\mathbb N} e^{-2|k-j|}\ge e^{-2|k-k|}=1.\]
\[
\sum_{k\in\mathbb N} e^{-2|k-j|}\ge e^{-2|k-k|}=1.\]
Prima di tutto mi scuso per aver sbagliato la sezione del forum.
Passo all'esercizio: la tua stima e' veramente furba, complimenti! Ma ho un dubbio, dato che dovrei fare il limite per $j→+∞$ posso fare questo tipo di stima eliminando del tutto il parametro da mandare a infinito?
Io stamattina ho continuato a pensarci e sono arrivata a questa stima, ma anche lì c'e' eliminazione del parametro j e non so se posso farlo
$ || Ae_j|| ^2= sum_(k\in mathbb(N)) e^(-2abs(k-j)) <= sum_(k\in mathbb(N)) e^(-2abs(k))= sum_(k\in mathbb(N)) (1/e^(2))^k $
questa e' una serie geometrica con ragione <1, pertanto e' una serie convergente e converge a $ 1/(1-(1/e^2))!= 0 $ ma allora ho dimostrato che la norma converge a qualcosa di diverso da zero e quindi $Ae_j$ non converge a zero fortemente e da questo deriva l'assurdo. Dite che e' corretto anche questo come procedimento?
Passo all'esercizio: la tua stima e' veramente furba, complimenti! Ma ho un dubbio, dato che dovrei fare il limite per $j→+∞$ posso fare questo tipo di stima eliminando del tutto il parametro da mandare a infinito?
Io stamattina ho continuato a pensarci e sono arrivata a questa stima, ma anche lì c'e' eliminazione del parametro j e non so se posso farlo
$ || Ae_j|| ^2= sum_(k\in mathbb(N)) e^(-2abs(k-j)) <= sum_(k\in mathbb(N)) e^(-2abs(k))= sum_(k\in mathbb(N)) (1/e^(2))^k $
questa e' una serie geometrica con ragione <1, pertanto e' una serie convergente e converge a $ 1/(1-(1/e^2))!= 0 $ ma allora ho dimostrato che la norma converge a qualcosa di diverso da zero e quindi $Ae_j$ non converge a zero fortemente e da questo deriva l'assurdo. Dite che e' corretto anche questo come procedimento?
"FRALT90":
[...] ho un dubbio, dato che dovrei fare il limite per $j→+∞$ posso fare questo tipo di stima eliminando del tutto il parametro da mandare a infinito?
Hai una successione reale i cui elementi sono tutti $> 1$. Basta questo a dire che non tenderà a zero, giusto?
Per quanto riguarda la seconda domanda:
"FRALT90":
[...] ma allora ho dimostrato che la norma converge a qualcosa di diverso da zero
Hai dimostrato che la successione delle norme è limitata. Quella stima non ti permette di escludere il caso che il limite sia zero (e quindi avere un assurdo). Non puoi neppure affermare che tale successione converga, ti pare?
"FRALT90":? A me sembra la sezione giusta.
Prima di tutto mi scuso per aver sbagliato la sezione del forum.
dovrei fare il limite per $j→+∞$ posso fare questo tipo di stima eliminando del tutto il parametro da mandare a infinito?Certamente. Stai usando un teorema di analisi 1: la disuguaglianza
\[
a_j\ge C
\]
implica
\[
\lim_{j\to \infty} a_j \ge C.\]
Hai fatto bene a provare ma non va bene. Hai dimostrato che \(\|A e_j \| \le C\) per una costante \(C>0\) ma questo non esclude che \(\|A e_j\| \) possa tendere a zero.
Io stamattina ho continuato a pensarci e sono arrivata a questa stima, ma anche lì c'e' eliminazione del parametro j e non so se posso farlo
$ || Ae_j|| ^2= sum_(k\in mathbb(N)) e^(-2abs(k-j)) <= sum_(k\in mathbb(N)) e^(-2abs(k))= sum_(k\in mathbb(N)) (1/e^(2))^k $
questa e' una serie geometrica con ragione <1, pertanto e' una serie convergente e converge a $ 1/(1-(1/e^2))!= 0 $ ma allora ho dimostrato che la norma converge a qualcosa di diverso da zero e quindi $Ae_j$ non converge a zero fortemente e da questo deriva l'assurdo. Dite che e' corretto anche questo come procedimento?
Solo per dire che ho detto esattamente la stessa cosa di Seneca (che approfitto per salutare)
ora mi e' tutto veramente molto chiaro, non avevo pensato per niente a quel fantastico teorema di analisi
Grazie mille sia a Seneca che a Dissonance per avermi aiutato
Grazie mille sia a Seneca che a Dissonance per avermi aiutato
Quel teorema è il più fondamentale di tutta l'analisi (mi assumo la responsabilità di questa affermazione esagerata 
).
).
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